(미분방정식) 6-3. General Solution of 2nd-order ODE

그러면, 앞에서 본 Wronskian을 가지고 좀 더 자세히 2차 선형상미분방정식을 들여다보자.

 

먼저, 우리의 최종 목표는 2차 선형미분방정식 -> IVP를 푸는 것이라고 생각하고 문제를 접근하자.

또한, 여기서 볼 것은 "해의 존재성과 유일성"이 아닌, "일반해의 형태와 존재성"이라는 것을 꼭 기억하자!

 

IVP를 푸는 과정을 두 개로 쪼개서 보자.

1. 2차 선형상미분방정식에서의 일반해를 구하기

 

2. 이 일반해에서 Initial Condition을 만족하는 해(IVP)를 구하기

=> 이렇게 1,2번 문제를 모두 풀어서 c_1,c_2까지 구하면 IVP를 푼 것이다.

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1번 문제부터 천천히 생각해보자.

여타 모든 수학문제에서 해를 구하고 증명하는 방식이 그렇듯

-> 1. 존재성, 2. 유일성 을 체크하게 된다!!

 

그럼 "일반해"라는게 존재하긴 하는 것일까??? 다음 정리에서 이를 살펴보자.

 

(일반해의 존재성 1)

(1번 문제를 풀었다고 가정, 다만 당연히 y1(t), y2(t)=0은 아니다!)

 

즉, 정리해보면

1. 1번문제에서 어떻게든 2개의 해(y1, y2)를 구한다!

2. 그 해로 Wronskian을 구했을 때, 어느 한 점에서라도 0이 안되면

3. y1과 y2의 선형결합(c1y1+c2y2)는 주어진 문제의 일반해가 된다!

 

(증명)

y''+p(t)y'+q(t)y=0에서 어떻게든 해를 2개 뽑아냈다고 하고, 이를 각각 y_1(t), y_2(t)라고 하자. 그리고 문제의 가정에 의해서 Wronskian을 만들었을 때, t=t_0일 때, Wronskian이 0이 아니라고 하자.

 

또한, y''+p(t)y'+q(t)y=0의 아무 해를 다음과 같이 잡자 (물론, y_1,y_2가 포함이 되도 된다.)

그러면 이 해는 t_0에서도 정의되어 있으므로, 다음과 같은 IVP의 해이다.

 

이 때, 다음과 같은 [a,b]를 생각해보자.

 

Wronskian이 0이 아니기 때문에 이러한 [a,b]는 분명히 존재한다.

그러면 이 경우에 

도 위의 IVP의 해가 된다.

 

이 의미를 한번 잘 해석해보자.

만일 다음과 같은 상황이었다면,

(즉, phi(t)가 c1y1+c2y2의 형태로 표현이 안된다.)

이러한 phi(t)에도 불구하고 똑같은 IVP를 만족하는 해 중에는 ay1+by2로 표현이 되는 것이 존재한다!!

 

★즉, 1번 문제

에서 해가 어떤 식으로 나오든 간에, 그 해를 가지는 IVP에서는 해를 아래와 같이 쓸 수 있다.

(아직 해의 유일성을 증명하지 않았기 때문에, phi(t)=c1y1+c2y2라는 말은 아니다!)

 

즉,

는

의 일반해가 된다!

증명과정에서 한번 의미를 곱씹어보면서 일반해의 의미를 생각해보자!

 

또한, 다음 일반해의 집합(Family)을 Fundamental set of solutions이라고 하고(즉, 다음 집합을 말한다.)

여기서 y1과 y2가 Fundamental set of solutions를 형성한다고 말한다.

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그런데

 

에서 y1과 y2를 어떻게 뽑아낼 수 있을까??

 

(일반해의 존재성 2)

 

정리하자면

초깃값조건이 y(0)=1, y'(0)=0인 문제에서 해 하나(y1)를 뽑고,

y(0)=0, y'(0)=1인 문제에서 해 하나(y2)를 뽑아서

이 둘을 선형결합을 하면(y=c1y1+c2y2), 이 식이 바로 y''+p(t)y'+q(t)y=0의 일반해가 된다!

 

(증명)

y1과 y2에 대해서 Wronskian=I가 되어, 당연히 역행렬이 존재하므로 앞의 정리로부터 증명된다!

(일반해의 존재성 1)보다야 y1과 y2를 구하는 방법이 약간 구체적이긴 하지만, 어차피 IVP를 풀어서 해를 구해야 한다는 말이므로, 실제적인 의미는 없다. 보면 알겠지만 결국에는 IVP의 해의 존재성과 연관이 되었다!!

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그런데, 여기서 IVP1, IVP2의 해의 존재성은 아직 증명하지 않았다는 것을 꼭 짚고 넘어가자!

정리하자면

(IVP의 해의 "존재성"(UNKNOWN) => 일반해의 "존재성" => 일반해 꼴은 y=c1y1+c2y2)

 

그러므로 완벽하게 정리하려면 "일반해"의 존재성이 아닌, 2차 상미분방정식 IVP의 해의 존재성을 증명해야 한다.

이 내용은 아직 나오기엔 이르므로 (이 이야기는 나중에 Systems of Differential Equation에서 언급할 예정!) 일단 선형인 경우에는 해가 존재한다는 것을 가정하고 넘어가도록 한다....

 

다음 챕터에서는 이론적인 얘기에서 벗어나서, 실제적으로 2차 상미분방정식을 풀어보면서 해의 특성을 살펴보자.