(미분방정식) 7-2. 2nd-order ODE with Constant coefficients (2)

이번에는 특성방정식을 풀었을 때 2개의 허근이 나오는 경우를 살펴보자.

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먼저, 미적분학을 보고 왔다면 이미 알겠지만, 오일러 공식을 다시 한번 떠올리자!

 

지수가 순허수인 경우가 아니라면 다음처럼 볼 수 있다.

자세히 설명할 필요도 없이 그냥 실수부와 허수부분의 지수를 따로 떼어놓았을 뿐이다.

=> 발산/수렴하는 (Exponential) 부분과 진동(삼각함수)부분을 분리!

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두번째로

2차방정식에서 복소수 근이 나오는 경우 -> 당연히 "켤레복소수(Conjugate)" 또한 해라는 것을 알고 있을 것이다.

그런데, 흔히 저지르는 실수 중에 하나가 2차방정식의 계수가 모두 "실수"여야 한다는 조건을 놓친다는 것이다.

즉, 정리해보면 다음과 같다.

 

(Solution of 2nd-Order Equation -> Conjugate)

(증명)

증명과정은 아주 심플하게 해를 집어 넣어보면 된다.

이 조건을 가지고 원래 식에 conjugate를 집어넣어보면

그러므로, Conjugate 또한 해이다.

 

**예를 들어서 다음 이차방정식은 Conjugate가 해가 되지 않는다!!

 

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우리의 경우에도 계수 및 초깃값이 "실수"인 경우만 살펴보도록 하자. (사실, 물리학에서 허수가 계수로 튀어나올 일은 중간에 계산하다가, 혹은 개념적으로나 있을 수 있고 -> 허수가 나오는 일은 없다고 봐야 한다.)

 

이번에도 예시를 통해 생각해보도록 하자.

그러면 특성방정식은

그러면 해를 다음처럼 쓰게 될 것이다.

 

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(1)

처음에 본 식을 생각해본다면, 해를 실수/허수부로 떼어놓을 수 있다.

=> 이렇게 실수부(cos)와 허수부(sin)로 떼어놓을 수 있다.

=> 이렇게 보는 것이 지수에 허수를 달고 다니는 것보다 더 직관적!!

 

그러면, 이렇게 바꾼 해로 초깃값 문제를 집어넣으면

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(2)

혹은 해를 바꾸지 않고도 생각해볼 수 있다.

이를 위의 관계를 통해서 바꾸어보면...

그러므로 해는 다음과 같이 나온다.

 

해를 살펴보면 기가 막히게 허수부분이 사라진다....

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그러면 이제 일반적인 경우를 생각해보자.

특성방정식의 해가 다음과 같이 나왔다고 했을 때, 해를 구해보자!

그러면 해의 꼴은

만일 이 때 초깃값이 다음과 같이 주어져 있다면... (단, 이 때 초깃값 또한 실수!)

 

그러므로, 일반적으로 계수와 초깃값을 실수로 가지는 2차 ODE의 해는 실수로 나온다!!

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그러면, 특성방정식의 해가 복소수로 나올 때의 해가 시간에 따라 어떻게 움직이는지 확인해보자.

먼저, 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

그런데, 이미 우리는 특성방정식의 해가 실수로 나올 때, 미분방정식의 해가 어떻게 움직이는지 보았었다.

즉, 위에서 alpha>0이면 해가 발산하고, alpha<0이면 해가 수렴한다.

거기에 -1~1의 값을 갖는 cos, sin을 곱했으니, 발산/수렴 경향성은 실수인 경우와 동일한 것은 당연하다!

 

그러면 여기에 추가가 된 cos, sin 부분에 대해서 생각해보자.

cos, sin의 주기는 beta와 반비례하므로

beta가 커지면 해가 더욱 더 흔들리는 것을 알 수 있다. 이를 그래프로 나타내보자!

위의 그래프는 특성방정식의 해의 위치, 아래의 그래프는 이에 따른 미분방정식의 해를 나타내었다.

alpha=-1이므로, 해가 수렴하는 것을 확인할 수 있고

특성방정식의 해가 실수일 때와 달리 단조감소하면서 수렴하는 것이 아니라 흔들리면서 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

 

beta 1->3으로 키워보면 이러한 경향성이 더 잘보인다.

beta가 커지면, 주기가 짧아지고, 진동수가 커지므로 더 많이 진동하는 것을 확인할 수 있다.

 

또한, alpha를 RHP(Right Half Plane -> (alpha>0인 영역))으로 바꾸면 다음과 같은 그래프를 얻는다. 

alpha>0으로 바꾸니 해가 발산하는 것을 알 수 있다!

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자, 그러면 남은 것은 특성방정식의 해가 "중근"이 나오는 경우이다.

다음 챕터에서 확인해보자!