(선형시스템) 7-2. 시스템이 얼마나 안정한가? (Gain Margin, Phase Margin)

이번시간에는 Closed-Loop System의 안정성을 Frequency Domain에서 알아보자.

Frequency Domain에서 알아본다는 이야기는

즉, Pole에 대한 이야기와 동일하다.

그런데, 우리가 Frequency Domain에서 이야기 할 때, 항상 sin파를 Input으로 집어넣고, 그 Response를 확인하는 것이기 때문에

-> s=iw로 놓고(즉, Input이 sin파), 저 g(s)=0이 되는지 안 되는지 살펴보면 된다!

즉, 여기서 할 이야기는 "Input"이 Complex Number 전체가 아닌, 허수축(Imaginary Axis)에 한정해서 본다! (물론, Response는 당연히 Complex Number 전체로 보아야 한다.)

 

그렇다면, Open-loop System에서는 앞에서 했던 Pole-zero와 동일하게 생각하면 된다!!!

또한, Closed-loop System에서도 동일하다!! 즉,

그런데...

-> 여기서 s=iw로 놓는다면, 그냥 저 1+KG를 Complex Number라고 생각할 수 있다!

-> 즉,

이렇게 된다면 "UNSTABLE"일 것이다!!!

예를 들어서...

(위에서 (-0.5,0)을 지난다!) 이런 상황에서...

1. K<1이면 무조건 Stable일 것이고, K>=2이면, 저 (-1,0)을 Mapping한 것이 포함하게 되므로, Unstable해질 가능성이 있다. (무조건 Unstable이라는 것은 아니지만...)

=> Gain Margin(GM)

 

2. |KG|=1일 때에 (즉 위에서 단위 원과 만나는 지점)이 얼마나 더 돌면, -180(180도가 아니라!)도가 되는지도 중요하다! (즉, Pole이 될 가능성!)

=> Phase Margin(PM)

 

(Gain Margin)

Stable을 보장하는 최대의 K를 말한다!

즉, 위에서는 2가 Gain Margin이 될 것이다!

 

(Phase Margin)

|KG|=1일 때, Phase가 -180도와 얼마나 차이가 나는지( PM=(Phase)-(-180) deg )를 말한다!

위에서는 약 PM=45 deg가 나온다.

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예시를 들어보자!

-> KG에 대해서 Bode Plot을 그려보면...

이 때, Gain을 1로 가지는 주파수(위에서 회색 점선의 주파수)를 Crossover Frequency라고 한다!

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정리해보면

=>

Gain Margin이 클수록, Phase Margin이 클수록 -> Stable을 보장하는 영역이 더 크다!

-> 시스템을 Stable하게 만드는 Controller의 자유도가 더 크다! (K를 더 마음대로 잡을 수 있다)

 

여기서는 Bode Plot을 통해서 Gain Margin과 Phase Margin을 알 수 있었는데, 위에서 본 것처럼, 허수축이 G에 의해서 Mapping된 그래프를 보고도 Gain Margin과 Phase Margin을 추정 할 수 있을 것이다.

 

이렇게 허수축을 G를 통해 Mapping한 그래프를 그리는 방법이 있는데, 이는 다음 시간에 알아보자!