(선형시스템) 7-1. Bode Plot

지금까지는, 시스템의 반응을 Pole, Zero의 위치를 이용해, Time-Domain에서의 성능(performance)가 어떻게 나오는지 관찰했다.

 

그러면, 굳이... Time-Domain으로 바꾸지 않고, Frequency-Domain에서 이를 해석할 수는 없을까??? -> BODE PLOT

 

---

들어가기 전에, 오일러 공식에 대해서 잠시 생각해보자.

지금 우리는 계속 Complex Plane에서 분석을 하고 있기 때문에, Frequency s를 위의 오일러 공식을 이용해서 생각할 수 있다!

-> 여기서 r을 s의 크기, theta를 s의 phase(각도)라고 생각할 수 있다!!!

---

(Bode plot)

시스템에 어떤 Input(U(s))을 넣으면 Response(Y(s))를 얻을 수 있을텐데 이 때, 결국 Y(s)는 Complex Plane에 존재한다. 즉 Complex Number라고 할 수 있다! => Y(s)의 크기, 각도를 알 수 있다!

만일, u(t)가 사인파(with 주파수 w_0)라면...

그러면, 시스템의 반응을 Y(s)라고 하면...

왜냐하면, 우린 주파수 w_0인 Input만 넣었기 때문에, 반응 또한, 그대로 w_0인 주파수가 나올 것이고, 다만, 크기와 Phase에 변화가 있을 것이다!

 

이 때, 전달함수의 Magnitude와 Phase는...

이 전달함수의 Magnitude(크기)와 Phase(각도)를 주파수(w_0)에 따라 그린 것이 Bode Plot이다!

 

(NOTE)

여기서 Frequency 축은 Logscale이다!

 

Example 1) Real Pole, Zeros

Frequency가 커짐에 따라서,

-> Zero를 지나면 Magnitude가 상승

-> Pole을 지나면 Magnitude가 감소 (위에서는 상승과 상쇄됨)

하는 것을 확인할 수 있다!

 

또한,

-> Zero를 지나면, Phase가 90도 증가!

-> Pole을 지나면, Phase가 90도 감소!

를 확인할 수 있다. (물론, 여기선 Zero와 Pole이 붙어있기에, 잘 드러나지는 않는다.)

 

아래에서 그 이유를 확인해보자!

Magnitude에 대해서는

Phase에 대해서는

(여기서 Logscale이라는 것에 다시 한번 주목하자! -> 분수함수 여도 선형으로 나온다!)

=> 기울기는...

위와 같은 방식으로 Magnitude와 Phase를 추론할 수 있다!

 

(NOTE)

위에서 Pole과 Zero를 지날 때의 Magnitude가 sqrt(2)가 붙는 것을 확인할 수 있다.

이를 거꾸로 생각해보면,

어떤 Frequency가 들어갔을 때, Magnitude가 1/sqrt(2)까지 내려오면.... -> 그 때의 주파수부터, 혹은 거기까지, 주어진 시스템이 영향을 미친다고 할 수도 있을 것이다.

=> Magnitude가 Input의 1/sqrt(2)가 되는 주파수를 Bandwidth라고 한다.

 

Example 2) -> Complex Poles

여기서도, 저 "고유진동수"에서 특이한 행동을 한다!

(NOTE) -> 여기선 저 1에 대해서는 특이할 것이 없다!!!

 

Frequency가 커짐에 따라서

-> Pole의 고유진동수에서 Magnitude가 Peak를 찍는다.

-> Pole의 고유진동수에서 Phase가 180도 떨어진다. (Phase가 반대로!)

 

Magnitude에서는

Phase에서는

이런 식으로 분석 할 수 있다!!

 

Example 3) Nonminimum Phase -> Zeros in RHP

우리가 앞에서 본 바로는 Nonminimum Phase라고 했는데, 왜 이런 말이 붙었는지 확인해보자.

Example 1과 Magnitude는 똑같지만, Phase는 다르다!!!

사실, Magnitude를 계산하는 방법에서 Zero에 1이 들어가나, -1이 들어가나 상관은 없지만(어차피 제곱)

Phase를 계산할 때, tan^(-1) (arctan)에서 문제가 생긴다!!! -> -1이 들어가면, atan 계산시, 좌우가 Flip된다!

-> Zero의 Phase를 계산할 때,

인 꼴이 되므로, Zero에 의해서 Phase가 증가하는 것이 아니라, 오히려 180도에서 떨어지는 꼴이 된다...

=> 그러므로 Nonminimum Phase를 가지게 된다!!

이었다는 것을 생각해보면...

phi가 90도보다 커져버리는 상황이 오기 때문에, 원하는 Input과 반대방향으로 움직이게 된다!

(cos 함수를 왼쪽으로 90도 움직여버리면, sin과 완전히 반대로 움직이게 된다! -> 그러므로 +90도는 반대로 움직임!)

 

---

그럼 이를 토대로, 어떻게 성능과 Stability에 대해서 알 수 있을까?

다음 시간에 알아보자!