(해석학) 3-3. Compact set이면 다 k-cell처럼 생겼을까? (Cantor Set)
이번 챕터에서는 Cantor Set(칸토어 집합)에 관하여 소개하고, 마지막으로 Connected set(연결 집합)에 관해서 설명하려고 한다. (Cantor set) 먼저, Cantor Set은 다음과 같이 만든다. 먼저, I0=[0,1]을 생각한다. I0에서 (1/3,2/3)을 뺀 집합을 I1라고 하자. I1에서 (1/9,2/9),(7/9,8/9)를 뺀 집합을 I2이라고 하자. -> 즉 남아있는 것에서 계속 1/3씩 열린 구간을 뺀다.... -> 반복 모든 I_n의 교집합이 Cantor Set이다. 이 때, cantor set은 공집합이 아니다! 예를 들어서, 1/3은 Cantor set의 원소임은 자명하다. 또한, 1/3,2/3,1/9,2/9,.... -> 각 I_n들의 경계는 모두 Cantor s..
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(해석학) 3-2. Compact set의 중요한 성질들 (축소구간정리, 하이네-보렐 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리)
이번에는 저번 챕터에서 배운 compact set을 이용해서, 아주 중요한 정리들 -> Nested Interval Theorem(축소 구간 정리), Heine-Borel(하이네-보렐 정리), Bolzano-Weierstrass Theorem(볼차노-바이어슈트라스 정리) 을 살펴본다. 1. Nested Interval Theorem(축소구간정리) 즉, compact set의 모음집인 {K_a}가 있는데, 이 {K_a}의 유한개 원소들로 교집합을 만들었을 때, 언제나 공집합이 아니면(non-empty), K_a로 만든 무한개의 교집합 또한 non-empty이다. (증명) 더보기 compact set들 중 하나를 잡아서(K1) K1의 open cover를 G_alpha로 잡는다. 이 때, G_alpha를 어..
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(해석학) 3-1. 전혀 컴팩트하지 않은 compact set.... (What is Compact set?)
이번 챕터에서는 COMPACT SET의 개념과 성질에 대해서 알아본다. 아마, 해석학 초반에 가장 장벽이 높은 개념이 아닐까 싶은데 그만큼 중요하기 때문에 어쩔 수 없다... 확실하게 알고 넘어가야 뒤에 나올 내용들을 이해할 수 있다. 먼저, compact set이 무엇인지 살펴보기 전에 몇가지 용어들을 살펴보자. (Open Cover) 즉, A의 open cover라는 것은 A를 덮는 X의 open subset들의 모음(collection)이라는 뜻이다. 예를 들어서, (-1,1)의 open cover에는, 1. {(-2,2)} 도 있을 수 있고, 2. {(-1,0), (-1,2)} 도 있을 수 있고, 3. {(-1,-0.3),(-0.4,0),(-0.1,2)} 도 있을 수 있고... 여러 방법이 가능할..
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(해석학) 2-3. 열린 집합과 닫힌 집합의 성질(Property of Open / Closed set)
지난 챕터에서는 Open set과 Closed set의 개념에 대해서 살펴보았다면, 이번에는 성질들을 몇 개 알아보자. 1. (Limit Point)에 관한 성질 -> 만일, x=p가 limit point of A이면, 중심을 p로 가지는 모든 open ball은 A의 원소를 무한개 가지고 있다! (If x=p is a limit pt of A, then, all B(p,r) has infinitely many elements of A) -> 즉, 반지름 r을 어떻게 잡던지, A의 원소를 무한개 가지고 있다. -> 즉, 유한집합은 limit point를 가질 수 없다. (증명) -> 대우로 증명 더보기 만일, 어떤 open ball이 A의 원소를 유한개 가지고 있다고 하자. 그러면, 그 중에서 p와 가장..
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(해석학) 2-2. 거리 개념과 집합 (Basic Set Theory - Concept of Open / Closed Set)
이번 챕터에서 드디어 열린집합과 닫힌집합에 대한 내용을 들어간다. 용어들이 많이 나오므로, 잘 정리하면서 가보자. 먼저, Metric Space(거리공간)에 대해서 알아보자. (Metric(거리)) 위 3가지 식(특히, 삼각부등식)을 만족하는 함수를 metric이라고 부르고, 이 metric이 존재하는 공간 X를 metric space라고 부른다. 보면 알겠지만, metric은 상대적인 것이지만(두 점), norm은 원점(절대적인 기준)이 요구가 되는 것 같다... 사실, 우리가 대부분 작업하는 공간 자체가 Euclidean Space이기 때문에, 그냥 d(x,y)보다 |x-y|로 쓰는 경우도 있다. 최대한 구분하려고 쓰려고 노력하겠지만, 해석학 카테고리에서 혼용해서 쓸 수도 있을 것 같아서 참고바란다...
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(해석학) 1-2. 차원 확장! 복소수와 유클리드 공간 (Complex Field, Euclidean Space)
지난 챕터에선 실수가 과연 무엇인지 약간 맛을 보았고, 실수의 완비성에 관해서 이야기하였다. 이번엔 이를 확장해서 복소수와 더 일반화된 공간에 대해서 살펴보자. 다만, 유리수체에서 실수체를 뽑아내는 것처럼은 실수에서 복소수를 뽑아내는게 불가능하다는 것은 실수의 완비성에 의해서 당연하다. 그러면, 어떻게 복소수체를 구성할까? -> 차원 UP (Complex Number)(복소수) 미적분학 카테고리에서도 살짝 언급을 하긴 했지만, 복소수는 단지 실수 2개의 순서쌍으로 정의하면 된다. 그리고 i=(0,1)이라고 정의하면, 우리가 아는 것처럼 복소수를 z=a+bi으로 표현할 수 있다. 그리고, 복소수의 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하자. 그러면, 복소수집합은 체(Field)가 된다.(증명은 생략) 또한, 우리..
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