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Mathematics

(해석학) 8-5. 아직 좀 부족한데....? (Improper Integral, Space of Riemann-Integrable ftns) 이번챕터에서는 저번시간에도 말했듯이 특이적분(이상적분)(Improper Integral)과 리만적분가능한 함수로 이루어진 공간에 대해서 이야기 하려고 한다. 먼저, Improper Integral에 대해서 살펴보자. (Improper Integral) 1. f가 x=a에서 unbounded인 경우! 예를 들어서, (무한대로 가는 경우는 극한이 존재하지 않는 것으로 본다) 2. 구간이 unbounded인 경우! 예를 들어서, 어떻게 보면, 너무 당연하게 확장되는 것이지만, 저 limit이 존재할 때만 정의된다는 것을 기억하자! 이를 이용해서, 미적분학 -> 적분판정법을 증명할 수 있다! 즉, 특이적분이 정의될 때, 무한대의 값이 아니니, 적분에 맞는 급수도 수렴한다는 것이다! (Integral Test o.. 더보기
(해석학) 8-4. 적분과 미분과의 관계는? (Fundamental Theorem of Calculus, Curve) 이번 챕터에서는 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)와 적분 나머지 파트들을 정리할 것이다. 먼저, 미적분학의 기본정리부터 살펴보자. (적분과 미분과의 관계) 특히, 2번이야 워낙에 잘 알고 있는 성질이지만, 적분결과가 연속이라는 것도(닫힌 구간이라 Uniformly continuous) 꼭 알아두자! (증명) 더보기 1. 연속의 정의를 이용하자! 2. F'(x)를 유도해보자! (Corollary) (Fundamental Theorem of Calculus(미적분학의 기본정리)) 여기서 알아두어야 할 것은 F가 유일하지는 않다는 것이다!(부정적분에서 상수항이 추가되는 것을 생각하자) (증명) 더보기 존재성은 위에서 증명을 하였고, 아래줄의 등식만 증명하면 된다! .. 더보기
(해석학) 8-3. 리만-스틸체스적분인데, 리만적분만 하는 느낌...? (Heaviside Unit Function, Change of Variable) 이번 챕터에서 처음 알아볼 것은 리만-스틸체스 적분의 다양한 성질들이다. 너무 Trivial한 성질들을 제외하고 몇가지 적어본다...(증명은 일부 생략!) 1. 적분값이 Bounded! (리만적분 정의할 때, f 자체가 bounded 였다는 것을 생각하자!) 2. alpha에 대한 성질 (Note) alpha가 같을 때, 다음과 같았다는 것을 생각하자! -> 별거 아닌거 같긴 하지만, 리만적분가능한함수의 집합을 공간으로 생각했을때, 벡터공간처럼 덧셈과 상수배가 닫혀있는 것을 알 수 있다! 3. 자주 쓰는 부등식! 이 부등식은 상당히 잘 쓰므로 꼭 기억하자! (증명) 더보기 3. 합성함수의 적분가능성을 토대로... -> 그리고 4. 곱의 적분가능성 (증명) 더보기 3과 같이 합성함수의 적분가능성을 이용하면.. 더보기
(해석학) 8-2. 언제 리만적분이 가능하지? (Existence of Riemann Integral) 이번 챕터에서는 리만(스틸체스) 적분의 적분가능성에 대해서 더 알아보고, 나머지 적분한 함수의 성질을 보도록 한다. 먼저, 적분가능성을 살펴보자. 적분이 가능할 때는 Upper Integral과 Lower Integral이 같은 경우이다. 그러면, 이를 Partition의 관점으로 보았을 때 Partition이 더 잘게 쪼개질 수록 -> Upper Integral과 Lower Integral이 비슷해진다.(차이가 0에 가까워진다.) 어디서 많이 본 느낌 아닌가? -> 코시수열, 혹은 입실론 - 델타 논법이 떠오르면 된다! 즉, 다음과 같이 설명할 수 있다.. n이 증가할수록 차이가 0에 가까워진다 -> 코시수열 ----> P가 더 잘게 쪼개질수록 차이가 0에 가까워진다. -> 적분가능성 (Existenc.. 더보기
(해석학) 8-1. 적분을 제대로 정의해보자! (Riemann-Stieltjes Integral) (미적분학 참고링크) -적분의 정의- (미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?): https://0418cshyun.tistory.com/20 (미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?) 첫번째 챕터에서 언급한 바와 같이, 우리는 고등학교 때에 LIMIT(극한)에 대한 정의를 그냥 스리슬쩍 넘어갔었고, 그래서 찝찝한 마음을 가진채로(심지어 증명도 안한채로) 극한에 관한 정리를 사 0418cshyun.tistory.com 미적분학 내용 보고 오시면 이해하는데 더 좋아요! 이번 챕터에선 Riemann-Stieltjes Integral(리만-스틸체스 적분)을 제대로 정의하려고 한다. 위의 미적분학 링크에서도 볼 수 있지만, 기존에 구분구.. 더보기
(해석학) 7-2. 미분방정식의 해의 유일성 (Uniqueness of Differential Equation) 이번 챕터에선 미분방정식의 해(Initial Value Problem의 해)가 유일하다는 것을 증명하려고 한다. (존재성은 나중에!) 아직 미분방정식에서 자세히 모르거나, 별로 관심이 없다면 패스해도 상관이 없다! 물론, 굉장히 특수한 경우만 다루려고 한다. 1. 편미분방정식 No.... -> 상미분만 다룸! 2. Explicit 꼴만... (y'=f(x,y), not f(x,y,y')=0) 그러나, 미분방정식이 굳이 선형일 필요까진 없다... -> 비선형도 가능! 물론, 대부분의 경우가 편미방이기도 하고, Implicit 꼴을 항상 Explicit 꼴로 바꿀 수는 없긴 해서, 굉장히 특수한 경우이긴 하지만, 그래도 비선형도 다룰 수 있다는게 어디인가.... 먼저, 증명하기 전에 다음 Lemma부터 확인.. 더보기
(해석학) 7-1. 미분이 여기서 가장 쉬움.... (Differentiation of 1-variable function) (미적분학 참고링크) -일변수함수의 미분- (미적분학) 3-3. 필요한건 미분이라구!!! (Differentiation of function): https://0418cshyun.tistory.com/24 (미적분학) 3-3. 필요한건 미분이라구!!! (Differentiation of function) 저번 챕터에서는 함수의 극한과 연속에 관해서 설명했다면 이번 챕터에서는 드디어 함수의 미분에 관해서 설명한다 (함수의 미분) 뭔가 되게 복잡하게 설명하긴 하였는데, 결과적으로는 다음과 0418cshyun.tistory.com -다변수함수의 최대/최소 찾기- (미적분학) 13. 드디어 이론 내용을 조금 벗어났습니다....만 다변수함수 미분은 여기서 끝 (Critical Point with Hessian M.. 더보기
(해석학) 6-4. 연속에 대한 생각을 넓혀주는 불연속... (Discontinuity) 딱히 중요한 내용이 아니라서, 그냥 넘어가 미분에 대한 내용을 하려고 했으나, 불연속점에 대해서 알면 그래도 연속에 대한 생각이 조금 넓어질수도 있을 것 같아서 부록처럼 작성해본다.... 먼저, 여기선 실수함수(Real-valued function)에 대해서만 이야기한다. 불연속(Discontinuity)점은 연속이 아닌 점을 얘기한다. 그럼, 불연속점은 어떻게 생겼을까??? 연속이면 다음 성질을 만족했던 것을 생각하자. 그럼 만약에 라면, 불연속점일 것이다. 그럼, 언제 저런 식을 만족할까? 1. lim 값은 존재하는데(좌극한, 우극한은 있는 경우), f(p)가 아닌 경우 -> First Kind Discontinuity 2. lim 값이 아예 존재하지 않는 경우(좌극한, 우극한이 없는 경우) -> S.. 더보기

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