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Mathematics

(해석학) 1-2. 차원 확장! 복소수와 유클리드 공간 (Complex Field, Euclidean Space) 지난 챕터에선 실수가 과연 무엇인지 약간 맛을 보았고, 실수의 완비성에 관해서 이야기하였다. 이번엔 이를 확장해서 복소수와 더 일반화된 공간에 대해서 살펴보자. 다만, 유리수체에서 실수체를 뽑아내는 것처럼은 실수에서 복소수를 뽑아내는게 불가능하다는 것은 실수의 완비성에 의해서 당연하다. 그러면, 어떻게 복소수체를 구성할까? -> 차원 UP (Complex Number)(복소수) 미적분학 카테고리에서도 살짝 언급을 하긴 했지만, 복소수는 단지 실수 2개의 순서쌍으로 정의하면 된다. 그리고 i=(0,1)이라고 정의하면, 우리가 아는 것처럼 복소수를 z=a+bi으로 표현할 수 있다. 그리고, 복소수의 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하자. 그러면, 복소수집합은 체(Field)가 된다.(증명은 생략) 또한, 우리.. 더보기
(해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까? (What is Real Number?) 아마 여기까지 찾아본다면 고등학교에서 증명하지 않는 정리를 어떻게 증명할까...? 라는 질문을 가진 사람들과 미적분학에서도 증명하지 않는, 혹은 뭔가 애매하게 넘어간 정리들을 좀 확실히 알고 싶은 사람들이 대부분일 것이라고 생각한다. 이러한 질문에서 Topology에 대한 논의를 시작해볼 것이다. 결론적으로 증명을 못했던, 아니면 뭔가가 찝찝하게 넘어간 이유는 Topology 때문이다. 더 자세하게 얘기하면 Topology를 통한 실수의 성질들을 짚고 넘어가야 하는데 뒷 내용을 보면 알겠지만 만만치는 않은 내용들이다. 그러나 여기에 나오는 내용들(Topology)을 알면 공대 기준 대학원 가서도 유용하게 써먹기 때문에 한번 알면 좋긴 하다. 일단 Topology(위상)가 무엇인지 살펴보자. 간략히 설명하.. 더보기
(미적분학) 부록3. 벡터 내적, 외적 공식 더 알아보기 이번챕터에서는 잘 나오지만, 따로 배우기는 힘든 벡터 공식들에 대해서 알아볼 것이다. 참고로 내적과 외적을 분배법칙처럼 써버리면 안된다! 1. (Note) abc 순서대로 있을 때 등식 성립.... (증명) 사실, 저 세 식 다 육면체의 부피이다. axb는 밑면의 넓이가 되고, c와 내적을 하면, axb의 방향이 밑면에 수직이라 육면체의 높이가 된다. 그러므로, 저 세 식 다, 육면체의 부피가 된다. 다만 방향의 문제 때문에 abc가 순서대로 돌 때 등식이 성립한다. 또한, bxc 계산할 때 determinant에서 i,j,k를 그냥 a_1,a_2,a_3로 바꿔버리면 쉽게 임을 보일 수 있다. 2. (증명) 사실 별건 없고, 성분별로 다 풀어쓰면 된다.... 그러나 많이 쓰이는 공식이므로 알아두면 좋다... 더보기
(미적분학) 부록2. 면적분과 물리 (Maxwell's Equations, Navier-Stokes Equation) 이번 챕터에서는 면적분이 어떻게 물리에 활용되는지 살펴보려고 한다. 전자기학에서 중요한 맥스웰 방정식(Maxwell's Equations)과, 유체역학에서 활용되는 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equations)의 증명 말고 의미 정도만 살펴보려고 한다. 1. Maxwell's Equations 전자기학에서 맥스웰 방정식은 전자기학의 기본이 되는 방정식으로 알려져 있는데, 이 식이 의미하는 것은 결국엔 전기장과 자기장이 어떻게 작동하는지 알려주는 것이다. 총 4가지 식으로 되어 있는데 다음과 같다. 여기서 E는 전기장, B는 자기장, epsilon_0은 진공의 유전율, mu_0는 진공의 투자율을 뜻한다. (1번 식) -> 전기장에 대한 가우스 법칙 간단하게 이야기하면, V의 bound.. 더보기
(미적분학) 부록1. 끝난게 끝난게 아닌 최대/최솟값 찾기 (Lagrange Multiplier) 다변수함수의 미분 파트에서, 주어진 f(x)의 최댓값과 최솟값을 찾는 방법에 대해서 알아보았다. -> 이를 그냥 뭉뚱그려서 최적화 문제(Optimization)로 볼 수 있다. gradient와 hessian을 이용한 방법은 x값에 조건이 없다. 하지만, 실제로 x에는 조건들이 가득하다. (예를 들어서, x 성분이 모두 양수여야 한다 or x의 norm이 1보다 작아야 한다는 등....) 이러한 조건들을 그냥 g(x) 첫번째 식과 두번째 식을 만족하면 극점(최댓값 or 최솟값)이다! (예시) 그러면 다음과 같이 Lagrange Function을 잡으면 된다. Lagrange Multiplier는 사용하는 것이 어렵지 않기 때문에 복잡한 함수의 최댓값, 최솟값을 찾는데 유용하다. (다만, 등식 조건이라는게.. 더보기
(미적분학) 17-2. 드디어 마지막, 스토크스 정리 (Divergence, Curl in 3D, Stokes' Theorem) 지난 챕터에선 2차원 평면에서의 divergence와 rotation을 보았다. 이번엔 3차원 공간에서 알아보자. 정의는 2차원과 똑같다! (Divergence(발산)) (Curl) 보면 알겠지만 rotation은 curl의 2차원 버전이었다고 생각하면 된다. 의미도 2차원과 동일하므로 생략한다. (생략한다고 중요하지 않은게 아니다!) 발산정리와 그린정리도 동일하게 성립한다. (다만, 그린정리 -> 스토크스정리) (Divergence theorem)(2차원3차원) 이 때 normal vector의 방향은 앞과 같이, 밖으로 나오는 방향으로 정한다. 증명은 앞 챕터에서 했으므로 생략한다. n차원으로도 충분히 확장 가능하다. (Stokes' Theorem)(1차원2차원) in 3D 그린 정리와 뭔가가 비슷하.. 더보기
(미적분학) 17-1. 물리학에서 많이 쓰이는 바로 그 정리 (Divergence, Rotation(Curl) in 2D) 이번 챕터에서는 물리학에서 꽤나 많이 쓰이는 발산(Divergence)과 회전(Rotation)에 대해서 알아볼 것이다. 17-1에서는 2D에서, 17-2에서는 3D에서 살펴볼 것이다. 일단, 2D에서 (Divergence(발산)) 다음과 같은 벡터장 F가 주어졌을 때, Divergence는 다음과 같다. (Note) 미분 operator del을 이용한 표현에서, 아래 표현들을 헷갈리지 말자! (벡터장이라 gradient 표현을 확장했다. -> F가 R^n -> R^1 이면, del F는 우리가 아는 gradient 표현일 것이다.) (Rotation(회전도)) 위와 같은 벡터장 F가 주어졌을 때, Rotation은 다음과 같다. 3D에서 보겠지만, Rotation은 Curl을 2차원에서 본 것이다. .. 더보기
(미적분학) 16-3. 계속 나오는 데에는 이유가 있지 (좌표계 변환과 치환적분법) (해석학 참고링크) (해석학) 19-2. 다변수벡터함수의 적분을 정의하자! (Change of Coordinates(Basis)): https://0418cshyun.tistory.com/92 (해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral): https://0418cshyun.tistory.com/101 (해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral) (미적분학 참고링크) (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potentia.. 더보기

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