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Mathematics

(미적분학) 12-1. 테일러 정리에는 n계 미분이 필요한데?? (High-Order Differentiation of Multivariate Function) (다변수함수의 고계미분) 다변수함수의 테일러정리를 위해 일변수함수의 테일러 정리를 생각해보자. 이를 보면, n번(nth-order) 미분한 함수가 필요한 것은 당연하다. 다변수함수의 이계 미분(Second-order)을 생각해보면, 일단, 도함수(전미분)가 행렬함수로 나타내어지니, 이를 다시 input으로 넣으면서 생각하기가 복잡해진다.... 그러나 저번 챕터의 마지막 부분을 잘 생각해보면, 이 행렬함수를 풀어 써서 하나의 벡터로 볼 수 있기 때문에(물론, 3차원 텐서를 이용해서 논리를 전개할 수도 있겠지만) 이를 잘 이용하면, 이계 미분의 성분들은 다 구할 수 있다. 이 성분들을 잘 정리해서 이용하면, 마치 일변수함수 이계도함수처럼 사용할 수 있다. 그러나, 이런 방식(특히, output이 여러개(mu.. 더보기
(미적분학) 11. Output 개수가 1개일 때 더 중요해지는 개념들? (Gradient) 우리는 계속 다변수함수에 관해서 알아보고 있다. 이번 챕터에서는 output 개수가 1개일 때, 즉, 인 경우에 대해서만 살펴볼 것이다. 먼저, 예시로 등산을 위해 지도를 그린다고 하자. 이때, 함수 f(x)는 x 지점의 높이를 나타낸다고 하자. 먼저 이 함수의 그래프에 관해서 알아보자. "그래프???" 라고 하면 너무 당연한 개념으로 생각할 수 있지만, 함수의 그래프가 뭐냐고 물어보면, 어떤 식으로 설명할 것인가? 예를 들어 y=x의 그래프를 그려보자 라고 하면, y=x를 만족하는 (x,y)를 좌표평면에 다 찍어놓은 것이라고 할 것이다. 즉, y=f(x) (y: 스칼라, x: 벡터)의 그래프는 다음과 같다. (Graph of functions) (여기서 X는 정의역) 등산 예시에서 만약에 f의 그래프를.. 더보기
(미적분학) 10-3. 다변수함수의 미분은 꽤 복잡하구나.....(Chain Rule, MVT in Multivariate Function) 일변수함수의 미분에서처럼 Chain Rule이 다변수함수에 어떻게 적용되는지 확인하자. (자세한 조건들(open set...)은 추후 해석학 카테고리 참고) 참고로 일변수함수에서의 chain rule은 다음과 같았다. (Chain Rule) 즉, 일변수함수와 별반 다를 게 없다. (저 g'는 f(x)에 대한 미분을 말하고 있다! (증명) 더보기 증명은 일변수함수와 동일하다. 증명이 복잡해보일 수도 있지만, 결국에 차원만 잘 고려해준 것밖에 없다. (예시) 극좌표계에서의 Chain Rule 좌표계파트에서 보았듯이 직교좌표계를 극좌표계로 변환하는 변환(사상)은 다음과 같다. 또한, 극좌표계에서 정의된 다음과 같은 함수가 있다고 하자. 그렇다면 chain rule을 이용해서 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. .. 더보기
(미적분학) 10-2. 다변수함수는 미분도 똑같을까??? (Differentiation of Multivariate Function(Partial Derivative, Total Derivative)) (해석학 참고링크) (해석학) 16. 다변수벡터함수의 미분, 그래도 이미 알고 있는 것이라서 다행이네.... (Differentiation of MIMO): https://0418cshyun.tistory.com/85 (해석학) 16. 다변수벡터함수의 미분, 그래도 이미 알고 있는 것이라서 다행이네.... (Differentiation o (미적분학 참고링크) (미적분학) 10-2. 다변수함수는 미분도 똑같을까??? (Differentiation of Multivariate Function(Partial Derivative, Total Derivative)): https://0418cshyun.tistory.com/25 (미적분학) 10-3. 다변수함수의 미분 0418cshyun.tistory.com 지.. 더보기
(미적분학) 10-1. 또 다시 입실론-델타 논법...? in 다변수함수 (Convergence, Continuity of Multivariate function) 미적분학 초반 챕터에서는 수열과 일변수함수의 극한(수렴)을 다뤘었다. 여기서는 다변수함수의 연속과 미분에 대해서 설명한다. 사실 초반 챕터(일변수함수)와 크게 다를 건 없으니 초반에 이해를 잘 했다면 문제 없이 넘어가니 걱정말자. 먼저 수열의 극한에 대해서 다시 한번 보자. 사실 앞에서 이걸 설명할 때, 수열{a_n}이 정의된 곳과 b를 그냥 실수(real number)인 것처럼 대충 넘어갔지만, 굳이 {a_n}과 b가 실수일 필요는 없다. 그냥 저 Metric(거리)만 잘 정의되면, 그 metric space 안에 {a_n}과 b가 있으면 되는 것이다. (해석학 참고) 예를 들어서, b가 2차원 벡터(0,1)여도 상관이 없고, 3차원 벡터(1,3,2)여도 상관 없다. 그냥 한 점(point)이면 된다... 더보기
(미적분학) 9-2. 극좌표계 말고 다른 좌표계들 (Cylindrical / Spherical Coordinate System) 지난 챕터에서는 2차원 평면에서 극좌표계를 다뤄보았는데 이번시간에는 3차원 공간의 실린더 좌표계와 구면 좌표계를 소개한다. (Cylindrical Coordinate System(실린더 좌표계)) 3차원 공간의 좌표(x,y,z)를 1. 주어진 좌표와 z축과의 거리(r) 2. 주어진 (x,y)와 x축과의 각도(theta) (1,2는 주어진 z의 z평면에서 극좌표계로 변환하는 것과 동일) 3. 나머지 (z) 로 표현한 좌표계로 이를 표현하는 변환(Transformation)은 다음과 같다. 단지, z좌표만 제외하고 극좌표계로 바꾸는 것과 동일하다. (Spherical Coordinate System(구면 좌표계)) 3차원 공간의 좌표(x,y,z)를 1. 원점으로부터의 거리(r) 2. (x,y,z)과 z축과의.. 더보기
(미적분학) 9-1. 알면 아주 편한 복소평면 개념(Complex plane, polar coordinate) 이번 챕터에서는 다변수함수에서 유용하게 써먹을 수 있는, 혹은 복소수 개념에서 써먹을 수 있는 복소평면(Complex plane) 개념과 이것을 일반화시킨 극좌표계(Polar coordinate)에 대해서 살펴보도록 하자. (Complex Plane(복소평면)) 복소수 z=a+bi 를 벡터 z=(a,b)로 표현하는 방식으로, 마치 벡터처럼 2차원 평면(복소평면)에 표시하는 방식이다. 여기서 생각할 수 있는 질문들을 잠깐만 짚고 넘어가면 1. 복소수를 벡터로 표현해도 되는가? 2. 복소수를 벡터로 표현하면 뭐가 좋을까? 더보기 1. 선형대수적으로 생각해보면, 복소수를 벡터로 표현하는 것은 아무 문제가 없다. 실수축(1)과 허수축(i)을 각각의 basis로 보면 서로 orthogonal한 basis를 이루므.. 더보기
(미적분학) 8. 내적이 있으니까 외적도 있겠지... 로피탈보다 오히려 더 중요하고 써먹을 수 있는 외적 (Outer Product) 이번에는 3차원 문제에 활용되는 벡터의 외적(Outer Product)에 대해서 알아보자. 이번에도 외적의 정의부터 살펴보자. (Outer Product) (성질) 1. (Commutative) 2. (Linearity 1) 3. (Linearity 2) 4. (inner product) 5. (norm) 각 성질들의 증명은 앞 챕터에서 보았던 determinant의 성질들을 생각하면 금방 유도할 수 있다. 간단한 성질들 말고, 진짜로 중요한 성질들을 보도록 하자. (Direction of Outer Product(외적의 방향)) 즉, 외적은 주어진 두 벡터와 수직이다. 증명은 위에서 본 4번 성질을 이용하고 determinant 성질을 이용하면 된다. 이는 평면의 방정식을 유도할 때, 아주 유용하게 사.. 더보기

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