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(해석학) 10-3. Stone-Weierstrass Theorem을 증명해보자! (Proof of Stone-Weierstrass Thm) (Stone-Weierstrass Theorem)(Real version) (Stone-Weierstrass Theorem)(Complex Version) 여기 나온 내용들을 하나씩 천천히 살펴보자! 1. Algebra(대수구조) 정확한 정의는 나중에 추상대수학 카테고리 참고! 사실, 여기서 정확한 정의까지는 필요없고, 다음과 같이 생각하면 된다. 위의 asteroid(bilinear operation)을 그냥 함수끼리의 곱으로 생각하면 (여기서는 C([a,b])등의 함수공간에 대해서만 생각한다!) 즉, 덧셈, 곱셈(asteroid), 스칼라 곱에 대해서 닫혀있다고만 생각하자.... 예를 들어서, 앞에서 본 C([a,b]), P([a,b])는 당연히 algebra일 것이고, R(alpha) 또한 alge.. 더보기
(해석학) 10-2. 테일러 정리가 과연 유효한가를 어디까지 확장할 수 있을까? (Introduction of Stone-Weierstrass Theorem) 지난 챕터까지는 함수열의 수렴을 계속 보아왔는데 갑자기 뜬금없이 테일러 정리라니??? 할 수도 있겠는데, 사실 테일러 정리도 함수열의 수렴의 일부라고 생각할 수 있다. 다시 한번 테일러 정리를 생각해보면... (Taylor Theorem) (이 때, 오차 M은 우리가 이미 최대최소정리를 배웠으니, n번 미분한 함수가 연속이고, compact set에서 정의되어 있으니, 저 sup값이 bounded되어 있음을 안다! -> M은 Bounded!) n급함수(n번 미분가능하고 그 결과가 연속) f를 결국엔 (n-1)th-order Polynomial((n-1)차 다항함수) P(t)로 근사시키는 것이라고 생각할 수 있다. 만일, n이 무한대라면 이런 생각도 할 수 있을 것이다... 자, 그럼 n급함수(혹은 무한급.. 더보기
(해석학) 10-1 부록. Separable Metric Space와 Base, 그리고 Compact set 앞에서 Compact set은 Countable Dense Subset을 가진다고 하였었다. 이를 증명하려면, 앞의 Topology 내용으로 잠시 돌아가야 한다. 먼저 다음 내용을 살펴보자. (Separable Metric Space) Countable Dense Subset을 가지는 Metric Space 예를 들어서, 유클리드 공간은 Separable이다. 유리수집합이 Countable한 것은 자명하기 때문에 생략하고, 실수에서 Dense인 것도 증명은 생략하겠다... 또한, 다음의 개념이 필요하다. (Base) 풀어서 설명하면, X의 base {V_alpha}는 X의 모든 점 x와 모든 open set G에 대해서 만약에 x가 G의 원소이면, {V_alpha}의 원소들 중에서, x를 포함하고, G에.. 더보기
(해석학) 10-1. 연속 종류가 왜 이렇게 많은지... (Uniform Boundedness, Equicontinuous) 이번 챕터에서는 나중에 쓸 개념과 용어들을 조금 정리하고, 동등연속(Equicontinuous)에 대해서 알아보도록 하자. 지금까지 계속 나온 개념이 바로 "Uniform" 이라는 개념이다. Uniform Continuous, Uniform Convergence를 보았는데, 유계(Boundedness)에 대해서도 "Uniform"을 이용할 수 있다. 1. Pointwise Bounded 즉, 각각의 x에 대해서 모두 bounded인 것을 말한다. 2. Uniformly bounded 즉, 모든 x에 대해서 공통의 M으로 bounded 되어있는 것을 말한다. 굳이 설명 안해도, Uniformly Bounded이면, Pointwise Bounded인 것은 자명하다! 예를 들어서 9-1에서 본 의 경우에는 P.. 더보기
(해석학) 9-3. lim와 적분 순서를 바꿔보자! (Uniform Convergence -> Integral/Differentiation) 이번 시간에는 저번에 못 다룬 Uniform Convergence와 미적분간의 관계를 알아보자. 2. 함수열의 적분가능성과 적분값 -> 언제, 적분과 lim 순서를 바꿀 수 있는가? (Integral and Seq of Functions) 즉, Uniformly convergent해야 적분과 lim 순서도 바꿀 수 있고, 적분가능성도 보존된다! (증명) 더보기 우리가 계속 보아왔던 8-5의 예시는 Uniform Convergent가 아니기 때문에, 이를 만족할 수 없었다... 즉, R(alpha)가 Complete Space가 되려면, Uniform Convergence가 추가가 되어야 한다. 3. 함수열의 미분 -> 언제 (f_n' -> f')가 되는가? (Differentiation and Seq o.. 더보기
(해석학) 9-2. Limit 순서, 적분 순서 바꾸는 게 마음처럼 안됐었다고?? (Uniform Convergence -> Continuity) 미적분학에서 다변수함수의 미적분, 특히 편미분을 다루면서 편미분 순서 바꾸는 것을 보았을 것이다... 미분의 정의를 생각해보면, 이는 결국 lim 순서를 바꾸는 것이다. 그 때는 미분의 정의를 이용해서 다 펼쳐서 생각했는데, 일반적으로 아무 생각없이 lim 순서를 바꾸는 것이 괜찮은 것일까??? 다음의 예시로 시작해보자... 1. LIMIT 순서 이 예시만 보아도 알 듯, 순서를 바꿔놨더니 결과가 달라진다. 다음 예시들도 다 순서에 따라 결과가 바뀐다.... 2. 함수열의 연속 연속도 Limit로 볼 수 있다! 3. 함수열의 적분가능성 4. 함수열의 적분값 5. 함수열의 미분 이런식으로, limit 순서 바꾸는 문제가 해결이 안되니, 연속, 미적분까지 문제가 생겨버린다.... 이를 해결할 수 있는 것이 .. 더보기
(해석학) 9-1. 수열의 원소를 Number에서 함수로 확장하면? (Uniform Convergence) 저번 챕터에서 리만적분가능한 함수들의 공간을 잠깐 살펴보았을 때, 주어진 함수들은 모두 적분가능했지만, 그것의 극한은 적분불가능한 예시를 보았었다. 즉, 이 때, 저 수열은 함수로 이루어진 수열로, 함수열(Sequence of Functions)라고 부를 수 있을 것이다. (Sequence of Functions)(함수열) 또한, 앞 챕터에선 함수열의 극한을 정의하지 않고, 그냥 뭉뚱그려서 넘어가긴 했지만(딱 봐도 직관적이니까...) 여기선 저 극한을 세분화해서 정의할 것이다. 이를 살펴보자! (Pointwise Convergence) 그러니까, 정의역 X에서 한 점만 딱 보고, 얘가 수렴하는 값들을 모아놓은 것이 Pointwise Converged f(x)가 된다. 급수도 똑같은 방식으로 Pointwi.. 더보기
(해석학) Summary 2. 수열부터 적분까지 *는 유클리드 공간 혹은 실수축에서만 성립 Chap 4. 수열의 수렴 1. 수열의 수렴성 1.1 수렴성과 극점 : {x_n}이 수렴하면 수렴값은 {x_n}의 limit point. 역으로, 극점에 수렴하는 부분 수열을 잡을 수 있다. 1.2 수렴성과 Compact set 1.{x_n}이 Compact set에서 정의되어 있다면, x_n에 수렴하는 부분수열을 잡을 수 있다. 2. 모든 부분수열들의 수렴값의 집합은 Closed set *3. 유클리드 공간에서 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. 2. 코시수열 2.1 코시수열의 수렴성 1. Compact set에서 코시수열이 수렴한다. by 축소구간정리 *2. 유클리드 공간에서 코시수열이 수렴한다. -> 코시수열이 수렴하는 공간을 Complete Spa.. 더보기

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