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(해석학) 6-3. 연속함수의 성질 Part 2. (Uniformly Continuous) 이번 시간에는 저번 시간에 못 다루었던 Uniformly Continuous(균등 연속)에 관해서 이야기한다. 먼저, Uniformly Continuous의 정의를 보자. (Uniformly Continuous)(균등 연속) 연속의 정의와 비교해보자! 1. 연속의 경우에는 p가 주어져 있지만, 균등 연속의 경우에는 p가 주어져 있지 않다! 2. -연속의 경우 즉, 주어진 점 p와 epsilon에 따라서 변했었다. (해석학 6-1의 Example 1 참고!) -그러나, 균등 연속의 경우 p가 주어져 있지 않으니, epsilon에 따라서만 변한다. 예시를 들어보자! (Example 1) 이 함수는 균등연속임을 확인해보자! 1. Epsilon=1 -> delta=2라고 해보자. f(2)-f(0)=1.414.... 더보기
(해석학) 6-2. 증명 못 했던거 오늘 다 풉니다... (최대최소정리, 중간값정리) 이번 챕터에선, 그 동안 줄기차게 이야기해왔던, 최대최소정리(Extreme Value Theorem), 중간값정리(Intermediate Value Theorem)의 증명을 할 것이다. 이 정리들은 사실 연속함수가 Topology(Open,Closed,Compact....)에서 가지는 성질들이기 때문에 여기선 조금 더 일반적으로 연속함수가 topology에서 어떤 역할을 하는지를 볼 것이다. 1. OPEN / CLOSED SET and Continuity 열린(닫힌)집합과 연속함수는 어떤 연관이 있을까???? -> 왜인지 모르겠지만, open ball을 연속함수에 태우면 그대로 open set이 될 것 같은 느낌이 들긴 한다... 이 느낌이 과연 맞을까??? 다음 성질을 살펴보자! (Open set an.. 더보기
(해석학) 6-1. 드디어 함수의 극한과 연속... (Limit and Continuity of Function) (미적분학 참고링크) -함수의 극한과 연속- (미적분학) 3-2. 근데 우리가 필요한건 수열보단 함수 아니었나?? (Convergence, Continuity of function): https://0418cshyun.tistory.com/23 (미적분학) 3-2. 근데 우리가 필요한건 수열보단 함수 아니었나?? (Convergence, Continuity of function) 미적분학에서 사실 실제로 미적분에 이용할 것은 수열이 아니라 함수이다. 저번 챕터까지는 수열의 극한에 대해서 살펴보았고, 이번 챕터에서는 함수의 극한과 연속에 대해서 살펴보자. 함수의 0418cshyun.tistory.com 이번 챕터에서는 함수의 연속성(Continuity)에 관해서 이야기 해보자. 이를 위해서 함수의 극한(L.. 더보기
(해석학) 5-3. 나머지 급수 이야기 (Power Series, Rearrangement) (미적분학 참고링크) -Power Series- (미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius): https://0418cshyun.tistory.com/6 (미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius) 일단 이 챕터를 시작하기 전에 테일러 급수에 대해서 알고 들어가자. 일단 여기서 테일러 급수는 어떤 함수 f(x)를 다항함수(Polynomial)꼴로 표현하는 방법이라고 생각하면 된다. 예를 들어 exp(x)나 0418cshyun.tistory.com 이번 챕터에서는 Power Series와 급수의 Rearrangement(재배열)에 대해서 살펴보자. Power Ser.. 더보기
(해석학) 5-2. 시그마(급수)는 막 곱하면 안 되나??? (Convergence of Series 2) (미적분학 참고링크) -교대급수, 절대수렴- (미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수는 어떻게 하지? (Alternating Series Test, Absolute Convergence) : https://0418cshyun.tistory.com/5 (미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수는 어떻게 하지? (Alternating Series Test, Absolute Convergence) 앞 챕터에서 양수항을 가지는 급수만을 다루었다면 이번 챕터에서는 음수항을 가지는 급수에 대해서도 다뤄볼 것이다. 1. (Alternating Series)(교대급수) 급수의 일반항의 부호가 계속 교대로 나오는 0418cshyun.tistory.com 이번 챕터에서는 저번시간에 말했던 것처럼, 교대급수(Alternati.. 더보기
(해석학) 5-1. 급수부턴 수월함.... (Convergence of Series 1) (미적분학 참고링크) (미적분학) 2-1. 입실론-델타논법으로 수렴성 증명은 귀찮아 (Comparison Test, Ratio Test, Root Test, Integral Test) : https://0418cshyun.tistory.com/4 (미적분학) 2-1. 입실론-델타논법으로 수렴성 증명은 귀찮아 (Comparison Test, Ratio Test, Root Test, Integral (해석학 참고링크) -최소상계/최대하계(sup, inf)- (해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까? (What is Real Number?) : https://0418cshyun.tistory.com/14 (해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까 0418cshyun.tistory.c.. 더보기
(해석학) 4-3. 단조수렴정리와 수열의 수렴값 찾기 (Convergence of Monotonic Sequence) 지난 챕터에 이어서, 이번에는 단조유계수열의 수렴성에 대해서 살펴보자. 먼저, 단조수열의 정의부터 보자. (Monotonic Sequence(단조수열)) -> 당연히 실수열일 것이다. 1. Monotonically Increasing(단조증가수열) -(Strictly) Monotonically Increasing 2. Monotonically Decreasing(단조감소수열) -(Strictly) Monotonically Decreasing 그러면, 이번에도 이 단조수열에 LUB 성질을 이용해보자 (Monotonic Convergence Theorem)(단조수렴정리) 즉, 단조수열에 대해서 유계이면 수렴하고, 수렴하면 유계이다. (증명) 더보기 1. 수렴 -> 유계 : 일반적인 수열로 앞에서 이미 다루었.. 더보기
(해석학) 4-2. 수렴하는 점을 꼭 알아야 수렴성을 판단할 수 있나? (Cauchy Sequence) 이번 챕터는 다음과 같은 생각으로 시작한다. 수열 {x_n}이 수렴한다 안한다를 알기 위해서는 어떻게 했었는지 생각해보자... 사실, 수열을 보기만 해도, 대충 이건 수렴하겠지, 발산(혹은 진동)하겠지라고 생각하지 않았는가? 굳이 더 따지자면, 그래프를 그려보면 대....충 나올 거 같으니까, 한 점으로 몰리니까 수렴이다 / 아니다를 판단했었다. 그리고, 더 나아가서 꼭 수렴성을 증명해야 했다면, 수렴하는 점을 그래프를 통해서 알아보고, 그 점으로 수렴하는지 아닌지 판단했었다. 그런데, 앞에서 수렴성 성질에서 수렴 point는 unique하였다. 만약에, 그래프를 보고 대충 이 점에서 수렴하겠지... 했는데 그것보다 약간 옆의 점이 수렴하는 점이라면? 혹은 그래프는 수렴할 것처럼 보였는데, 실제로는 수렴.. 더보기

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