(선형대수학) 4-3. Span, Basis, Dimension
이번시간엔 저번시간에 잠깐 보고 패스했던, Span, Basis, Dimension등의 용어에 대해서 알아보자. 1. Span Span이라는 말은 바로 "늘리다" 인데, 이를 수학적으로 정의내려보자. 즉, 어떤 벡터들(v_1,v_2,...)이 벡터공간 V로 Span된다라는 말은 (V에 있는 어느 벡터)라도 (v_1,v_2,...)의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 말이다. ex) Column space of A -> A의 Column Vector들이 Span된 공간! 2. Basis(기저) Basis라는 말을 많이 들어보았을텐데, 선형대수학(행렬)에서 Basis의 뜻이 무엇인지 살펴보자. 즉, 벡터공간 V의 Basis는 1. Basis끼리는 모두 linearly independent 2. Basis가 V로..
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(선형대수학) 4-1. 여러가지 Subspace (Column / Row / Null / Left Null Space)
이번 챕터에서는 조금 더 DEEP한 행렬의 논의를 위해 Column Space, Row Space, Null Space 등의 개념들을 보도록 하자. 먼저, Subspace(부분공간)이라는 개념을 알고 가자. 물론, 추상대수학으로 가면, 더 포괄적인 정의가 있지만, 여기서는 "벡터공간"에서의 관점으로 접근한다. (벡터공간의 부분공간(Subspace of a vector space)) 그냥, 부분집합처럼 생각하면 되지만, 이 부분공간 또한 벡터공간이어야 한다는 조건이 있다. 그럼, 이제 행렬로 들어가서, 위에 나온 용어들을 정리해보자. (각 벡터의 모양에 주의하자!!!) (각 Space가 Subspace인지는 다 같이 맨 마지막에 살펴본다.) 1. (Column Space of A) -> 말 그대로, A의 ..
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(선형대수학) 2-2. 가우스-조던 소거법 -> 역행렬의 존재성과 L(D)U Factorization
지난 시간에는 가우스-조던 소거법에 대해서 살펴보았는데, 못 짚었던 내용들을 보자. 1. 역행렬의 존재 조건 => 만일 위 과정에서 Pivot에 0이 포함된다면... => 대각성분을 1로 만들어 줄 수 없다!!! => 이 말은 사실, 하나의 줄이 다 0을 가지고 있다는 말이다!!! -> 우변에 해당하는 줄이 0(혹은 [0, 0, ... , 0])이 아닌 이상, 이 문제를 해결할 수 없다. 즉, 해가 존재하지 않으므로 역행렬도 없다! (NOTE) 그렇다면, 만약에 우변에 해당하는 줄이 0이라면...?? -> 우리가 가지고 있는 행렬에서 그 줄을 빼도 된다는 말과 동일하다! -> 어차피 0=0이니, 아무 의미 없는 row이다! -> 즉, 이런 식으로 그냥 행렬을 줄여줄 수 있다!! (NOTE) 이런 식으로,..
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(선형대수학) 2-1. 역행렬을 쉽게 구해보자 (Gauss-Jordan Elimination)
역행렬이 있다는 가정하에서, 역행렬을 구해보자! 1. 2 by 2 행렬 그러면, 역행렬은 이미 알고 있듯이, 일 것이다. 이 식이 어떻게 나왔는지 살펴보자. (증명 1) -> 단순 계산! 더보기 (NOTE) 만일 A가 정사각행렬이 아니면, 일단 항등원 계산부터 문제가 생긴다 -> 왼쪽에 곱할 때와, 오른쪽에 곱할 때 모양이 달라진다!! (NOTE 1) 위의 증명에서, 잘 살펴보면... (1)(3), (2)(4) 이렇게 -> 그냥 두 개의 연립방정식으로 쪼갤 수 있다!!! 그러므로, 이런 식으로 쪼갤 수 있다. 더 일반적으로, => 행렬의 곱을 Column-wise으로 쪼갤 수 있다!! (NOTE 2) 더 나아가서, => 행렬의 곱을 Row / Column연산으로 쪼개서 나타낼 수 있다는 것을 꼭 알고 있..
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