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Mathematics

(선형대수학) 11-3. Application of Diagonalization - Differential Equations & Difference Equations 이번에는 Diagonalization을 어떻게 활용하는지에 대해서 살펴보자. 1. 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation) 자세한 것은 추후 미분방정식 카테고리에서 보도록 하고, 여기서는 간단한 선형미분방정식의 풀이방법에 대해서만 생각해보자. (a) 선형미분방정식(Linear Differential Equation) => 주어진 미분방정식 문제가 "선형사상"인 경우를 말한다. => 즉, 주어진 미분방정식을 "행렬"을 이용해서 다음과 같은 Form으로 나타낼 수 있다! ex) 주어진 문제가 선형인 것을 알았으므로, 이를 위의 행렬 형식으로 고쳐보자! (b) 이제 위의 선형미분방정식을 풀어보자! 먼저, Intuition을 얻기 위해서 다음과 같이 생각해보자.. => Roughl.. 더보기
(선형대수학) 11-2. Diagonalization (1) 바로 앞에서 Eigenvalue Problem에 대한 내용을 보았다. Eigenvalue Problem은 다음과 같았다. 이 문제를 풀기 위해서 Characteristic Equation을 이끌어냈고, 다음과 같았다. 이 식이 n차 다항식이므로, 복소수관점에서 해가 총 n개가 나와야 한다!!! => Eigenvalue가 총 n개가 나온다! 각각에 해당되는 Eigenvalue와 Eigenvector를 다음과 같이 써본 후에 정리해보면 여기서 Eigenvalue로 이루어진 Lambda 행렬은 대각행렬(Diagonal Matrix)이다. 이렇게, A를 이용해서 Eigenvalue로 이루어진 Lambda 행렬(Eigenvalue Matrix라고 한다.)을 뽑아내는 과정을 Diagonalization(대각화)라고.. 더보기
(선형대수학) 11-1. Eigenvalue Problem (Trace와 Determinant => Eigenvalue와의 관계가 수정되었습니다!!!)(2023-08-17) Summary 1에서 보았듯이 지금부터는 Decomposition에 대한 내용을 시작한다. 먼저, 여기서는 "실수" 행렬만 살펴보자. 다음과 같은 순서로 진행될 예정이다. 1. "Diagonalize" => Eigenvalue Problem (정사각행렬) 1-1. Jordan Form 2. Spectral Decomposition (Symmetric Matrix) 3. Singular Value Decomposition (정사각행렬 => 일반화) 물론, "복소수" 행렬인 경우도 뒤에서 살펴볼 것이다. Diagonalize!(대각화) -> 다음 챕터에서 설명 Decomposition에 대한 내.. 더보기
(선형대수학) Summary 1. Ax=b를 어떻게 푸는가? 지금까지 했던 내용들을 간략하게 정리합니다. Main : Ax=b를 어떻게 풀까?? "정사각행렬"인 경우 => 역행렬을 구하자! 1. 역행렬을 쉽게 구하는 방법?? => Gauss-Jordan Elimination => LDU Decomposition! (꼭 정사각행렬일 필요는 없다!) 2. 선형종속 / 선형독립 (Linear Independence)! => 모든 Column들이 linearly Independent인 경우 역행렬 존재! 3. 행렬식(Determinants) Gauss-Jordan Elimination은 그저 역행렬을 구하는 과정일 뿐... => 수식으로 깔끔하게 역행렬을 쓸 수 없을까??? => Cramer's Rule -> 역행렬을 구해서, Ax=b의 해를 구한다! "좌우로 길쭉한 경.. 더보기
(선형대수학) 10-3. Block Matrices -> Block Determinants 지금부터는 각 원소별이 아닌, Block Matrix에 대한 내용으로 Determinant를 생각해보자. 먼저, Block Matrix란 -> Matrix를 Matrix로 표현한다고 생각하면 된다. ex) Block Matrix 이 경우에도, "사이즈" 만 잘 맞추면, 행렬 덧셈과 곱(Block Multiplication)이 그대로 성립한다. (Block Multiplication) Block 곱을 할 때에는 사이즈(특히 곱셈 순서, 더할 때 행렬의 사이즈가 일치하는지)에 주의해야 한다! 이번에는 이 Block Matrix로 Gauss-Jordan Elimination을 한번 진행시켜보자!! (Gauss-Jordan Elimination of Block Matrix) 주어진 Block Matrix X가 .. 더보기
(선형대수학) 10-2. 역행렬 공식 by Determinant 이번에는 Determinant를 이용해서 역행렬을 구하는 방법을 알아보자. 역행렬을 구하는 공식이라고 하면, 크게 2가지로 볼 수 있다. 1. 가우스-조던 소거법 => 계산이 심플함 2. Determinant를 이용해서 역행렬을 구하는 것 => 수식으로 되어 있음, Recursive 가우스-조던 소거법은 앞 챕터에서 보았으므로, Determinant를 이용해서 역행렬을 구해보자. 먼저, 이를 위해서는 Determinant에 대해서 조금 더 알아보아야 한다. Determinant를 구하는 방법은 다음과 같았다. => 각 행과 각 열에서 안 겹치도록 하나씩 골라서 다 곱해준 것을 => "부호"를 고려해서 더할지 뺄지 생각하면 된다. 이 때, Permutation을 다음과 같은 방법으로 잡아보자. 그러면, d.. 더보기
(선형대수학) 10-1. Introduction of Determinants 이번 챕터에서는 행렬식(Determinants)이다!!! 먼저, 행렬식의 정의에 앞서서 어디에 사용이 되는지 잠시 살펴보자. 이미 행렬식에 대한 내용은 다들 들어보았을텐데, 가장 심플하게 알려져 있는 것이 => 역행렬을 구할 때 나오는 "분모" 일 것이다. => 이러한 내용을 넘어서서 행렬식이 어디서 또 나오는지 살펴보자. 1. 역행렬의 존재조건! => 2 by 2 행렬의 경우는 위에서 소개한 것과 동일하다! => n by n 행렬로 일반화되었을 경우에도 동일할까?? 2. 역행렬을 구하는 공식! => 2 by 2 행렬의 경우는 위에서 소개한 것과 동일하다! => n by n 행렬로 일반화되었을 경우에는 역행렬 공식이 어떻게 될까?? (Cramer's Rule) 3. 미적분학(미적분학 카테고리 참고) =>.. 더보기
(선형대수학) 9-부록. Fast Fourier Transformation 앞 챕터에서 Fast Fourier Transformation에 대한 내용이 나왔으므로, Fast Fourier Transformation에 대해서 잠깐 알아보고 넘어가려고 한다. (Fourier Series를 모르면 그냥 넘어가자!) 먼저, Fourier Series의 Coefficient를 구하는 것부터 시작해보자. (Fourier Coefficient) 푸리에 급수의 Coefficient를 구하는 것은 해석학 파트에서도 설명이 되어 있으니, 자세한 설명은 해석학 파트를 참고! 이 때, f(t)가 주어진 Interval 안에 주어져 있어야 하는데 이를 조금 확장해서 실수 전범위로 넓혀보자. 그리고, exp의 주기성을 고려해서, int -> 2pi의 상수배로 바꾸자! => Fourier Transfor.. 더보기

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