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Mathematics

(선형대수학) 14-2. Quadratic Form과 극값 판별 지난번에 Positive Definite Matrix에서 인 것을 생각해보면, Positive Definite Matrix는 마치 "2차식(더 정확히는 Quadratic Form)"처럼 생각할 수 있다는 것을 느낄 것이다. 라는 내용을 보았다. 먼저 위에서 나온 Quadratic Form에 대해서 정의하자. (Quadratic Form) 그냥 모든 항의 차수가 2인 Polynomial을 Quadratic Form이라고 말한다. (그러나, 항의 차수가 1인 것이 있으면 안된다!!!) 그런데, 이 Quadratic Form을 Matrix를 이용해서 표현할 수 있다. (Matrix Expression of Quadratic Form) 즉, Positive Definite Matrix에서 보았던 바로 그 꼴로 .. 더보기
(선형대수학) 14-1. Definition of Positive Definite Matrix 이번 시간에는 Positive Definite Matrix에 대해서 알아보자. 12-2에서 Hermitian의 Eigenvalue를 구하는 문제로 다시 돌아가보자. 여기서 어떤 Complex-Valued Vector x가 들어가도 인 것을 이용해서 다음과 같이 Eigenvalue가 항상 실수임을 보였었다. 12-2에서도 언급했지만, Eigenvalue의 분모는 x의 Norm이 되므로 항상 0보다 큰 실수가 나오므로, 결국 Eigenvalue를 결정하는 것은 이다. 그러면, 여기서 저 식이 실수인 것을 넘어서 이라면...???(물론 x=0인 경우는 제외) => Eigenvalue는 항상 0보다 큰 실수가 나올 것이다. 물론, 이 경우에 A는 항상 Hermitian(혹은 Symmetric)을 만족할 것이다... 더보기
(선형대수학) 13-2. Spectral Theorem 이번 챕터에선, Spectral Theorem을 살펴본다. 이 Spectral Theorem은 Hermitian(실수에서는 Symmetric) Matrix의 Diagonalization을 보장한다. (NOTE) 항상 정사각행렬이 Diagonalization이 되는 것은 아니었다.... => 그럴 때는, Jordan Form! (Spectral Theorem) 1. 실수 행렬인 경우 2. 복소수 행렬인 경우 그리고, 이렇게 Diagonalization이 되는 것을 Spectral Decomposition이라고 한다. 우리가 증명할 내용은 저 A가 항상 Diagonalized 되는지만 보면 된다! (나머지는 Hermitian의 성질에서 다 본 내용들) 이를 위해서 증명할 내용이 바로 Schur's Lemma.. 더보기
(선형대수학) 13-1. Similarity Transformation, Change of Basis 이번시간에는 Similarity Transformation과 좌표계 변환에 대한 이야기를 하려고 한다. Jordan Form을 소개할 때(11-4 참고!) 마지막에 Similar Matrix라는 용어를 소개하고 끝냈었다! 왜 Similar(비슷한) 이라는 용어가 붙었는지 알기 위해서 한번 A, B의 Eigenvalue Problem을 풀어보자. 즉, Similar Matrix끼리는 같은 Eigenvalue를 가지고, eigenvector 사이에도 P에 의한 변환만 존재한다는 것을 알 수 있다. 그러면, 이 Similar Matrix와 좌표계 변환 사이에는 어떤 관계가 있을까?? 1. 행렬 그 자체는 "선형변환(Linear Transformation)"이라고 했었고, 앞에서도 계속 언급했듯이 좌표계 변환과.. 더보기
(선형대수학) 12-2. Eigenvalue Problem of Complex Matrix 이번 챕터에서는 지난 시간에 본 Complex Matrix들의 Eigenvalue들이 어떠한 특징을 가지고 있는지 살펴보자. 1. Hermitian => 결론만 말하자면, 모든 Eigenvalue가 실수가 나온다! (Real Eigenvalue) 이를 증명하기 위해서 먼저 다음 성질을 살펴보자. 중요!! (Lemma) 즉, A가 에르미트 행렬이면, 위처럼 계산한 "숫자"가 실수가 튀어나온다! (증명) 실수는 Conjugate한 것과 원래가 동일하고, 1 by 1 행렬처럼 생각해볼 수 있다는 점을 이용하자! => 실수를 에르미트연산(Conjugate Transpose)한 것은 그냥 자기 자신이 나올 것이다! 이 점을 이용해보자. 그러면 우리에게 주어진 저 숫자 x^HAx를 에르미트 연산을 해보면... ->.. 더보기
(선형대수학) 12-1. Complex Matrices (복소수 행렬) (참고링크) (선형대수학) 7-1. Inner Product(내적)과 Norm : https://0418cshyun.tistory.com/157 (선형대수학) 7-1. Inner Product(내적)과 Norm 이번 챕터에서는 이미 쉽게 알고 있을 벡터의 내적(Inner Product)과 Norm에 대해서 살펴보자. 먼저, 벡터의 내적(Inner Product)에 대해서 정의하자. 대부분 이 글을 보는 사람들은 이미 내적에 대해서 알 0418cshyun.tistory.com 위의 링크에서 "복소수" 벡터의 Inner Product, Norm에 대해서 살펴보고 오자!! 먼저, 챕터 11에서 했던 Diagonalization에 대한 내용은 실수 행렬인 경우에 국한된다고 말했었다! 그러면, 이를 복소수 행렬(.. 더보기
(선형대수학) 11-5. Application of Jordan Form - Differential Equation 11-3에서 Diagonalization을 Differential Equation에 응용하는 것을 보았었다. 여기서는 더 나아가서 Jordan Form을 이용해보자! (물론, 여기서도 미분방정식에 관한 내용을 모른다면, 패스해도 좋다!!!) Jordan Form을 바로 이용해보기 전에, 먼저 Matrix의 Exponential에 대해서 잠시 언급하고 넘어가보자. 먼저, 다음과 같은 (일변수) 선형미분방정식을 생각해보자. 그렇다면, 이 미분방정식의 해는 다음과 같다. (풀이) 그러면, (다변수) 선형미분방정식이라면 (즉, Systems of Differential Equation)..? 비슷하게 이 미분방정식의 해도 위처럼 Exponential로 쓸 수 있지 않을까?? 그러면, 이를 위해서 Matrix의 .. 더보기
(선형대수학) 11-4. Diagonalization (2) - Jordan Form 11-2에서 Diagonalization에 대한 이야기를 하면서 => Repeated Eigenvalue에 대한 내용을 설명하였다. 이 때, 2가지 Case가 생기는데, 1. 중복되는만큼 Eigenvector를 찾을 수 있다!!! -> Diagonalization이 가능! 2. 중복되는만큼 Eigenvector를 찾을 수 없다!!! -> Diagonalization이 불가능! (이 때, 중복된 Eigenvalue의 개수 : Algebraic Multiplicity라고 하고 linearly independent한 eigenvector의 개수 : Geometric Multiplicity(즉, Null Space의 Dimension)라고 한다.) 문제가 되는 경우는 2번 경우이다!!! 이 문제를 해결하기 위해.. 더보기

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