(선형대수학) 4-3. Span, Basis, Dimension

이번시간엔 저번시간에 잠깐 보고 패스했던, Span, Basis, Dimension등의 용어에 대해서 알아보자.

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1. Span

Span이라는 말은 바로 "늘리다" 인데, 이를 수학적으로 정의내려보자.

즉, 어떤 벡터들(v_1,v_2,...)이 벡터공간 V로 Span된다라는 말은 (V에 있는 어느 벡터)라도 (v_1,v_2,...)의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 말이다.

 

ex) Column space of A -> A의 Column Vector들이 Span된 공간!

 

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2. Basis(기저)

Basis라는 말을 많이 들어보았을텐데, 선형대수학(행렬)에서 Basis의 뜻이 무엇인지 살펴보자.

즉, 벡터공간 V의 Basis는

1. Basis끼리는 모두 linearly independent

2. Basis가 V로 span될 수 있다!

=> basis의 개수가 너무 많다면 -> linearly independent를 만족시키기 어렵다!

=> basis의 개수가 너무 적다면 -> V로 Span되기 어렵다!

===> 즉, V의 Basis란, V를 표현할 수 있는 "최소 개수"의 벡터들을 말한다.

 

여기서 하나 짚고 넘어갈 것은, Basis는 "유일하지 않다"라는 것이다!

ex)

아마, 1번의 경우를 Basis라고 많이 생각하겠지만, 2번 또한, 위의 Basis 정의를 만족하기 때문에, basis이다!

 

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3. Dimension(차원)

Basis를 이용해서 Dimension의 정의를 내려보자.

=> Basis를 이루는 벡터의 개수

Basis 예시에서 3차원 공간은 => 당연히 Dimension=3이다!

 

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다음시간에, 한번 진짜로 Ax=b를 예시를 통해서 풀어보면서, Span, Basis, Dimension을 이해해보고, Rank의 개념에 대해서도 같이 알아보도록 하자!