(선형대수학) 5-1. 계속 나오는 Rank! -> 정의(Definition)

이번 시간에는 행렬의 Rank에 대한 내용이다.

행렬에서 Rank는 아주 중요한 개념이고, 계속 등장하므로 꼭 알아두자!!!

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(2-1 -> 가우스-조던 소거법) : https://0418cshyun.tistory.com/145

으로 다시 돌아가보자!

 

다음과 같은 정사각행렬이 아닌 경우의 예시가 있었다.

1. Echelon Form

=> 정사각행렬에서의 Upper Triangle을 뜻한다.

=> 정사각행렬이 아닌 경우에는 계단모양("Staircase") 행렬을 말한다!

 

2. Reduced Form

=> LU Decomposition -> LDU Decomposition으로 올 때, Triangle Matrix의 대각성분(0은 빼고)을 모두 1로 만들어 주었다.

=> 이런식으로 대각성분을 모두 1로 바꿔준 Form을 Reduced Form, Reduced Equation이라고 한다.

 

즉,

이 때, Echelon Form, 혹은 Reduced Form에서 대각성분이 0이 아닌 성분을 => PIVOT이라고 하고,

Pivot의 개수를 Rank라고 한다. 여기선 Rank(A)=2가 될 것이다.

 

Another Example)

만일, Reduced Equation이 다음과 같다고 하자.

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이번에는 이 Rank의 의미를 조금 더 확장하기 위해서 Ax=b를 푸는 것을 생각해보자...

1.

위의 예시에서 맨 마지막 Row는 아무 의미가 없다.... 즉, 어떤 x가 들어오든 항상 식을 만족한다.(0=0)

=> Rank는 "의미가 있는 식의 개수"로 볼 수 있다!

 

2. 

위에서 직접 x를 구해보면 (by Gauss-Jordan Elimination에서의 방법대로!)

식에 의해서 도출되는 variable을 Pivot variable이라고 하고, 그냥 마음대로 잡아도 되는 variable을 Free variable이라고 한다면...

-> Rank가 의미가 있는 식의 개수였으므로, Rank  = (Pivot Variables의 개수)가 되고, 나머지 variable이 Free variable이 된다!

 

=> A= m by n 행렬(m개의 Row, n개의 Column)이라고 하자.

=> 만일 rank(A)=r이라면

=> n: 전체 Variables의 개수

=> r: 의미가 "있는" 식의 개수, Pivot Variables의 개수

=> m-r : 의미가 "없는" 식의 개수(0=0)

=> n-r : Free Variables의 개수

 

3.

지난 시간에 본 일반해, 특수해의 관점으로 보자면...

Free variable에 영향을 받지 않는 상수 벡터가 바로 특수해(Particular Solution)이 되고,

Free variable(u,v)에 영향을 받는 벡터의 선형결합이 Homogeneous Solution (Ax=0)이 된다!

=> Homogeneous Solution (Ax=0)이 A의 Null space(N(A))의 원소가 되므로, N(A)의 차원(Dimension)은 Free Variables의 개수가 된다!!

=> Dimension of N(A) = n-r

 

4.

이번엔 Row / Column Space에 대해서 생각해보자.

먼저, Row space와 Rank의 의미를 생각해보면...

즉, Row Space의 Dimension이 Rank(A)와 동일한 것을 알 수 있다!!

=> Dimension of R(A)(C(A^T)) = r

 

또한, 이러한 논의는 A를 Transpose해도 똑같은 결과를 얻을 수 있는데, 어떤 방식인지 잠깐 살펴보자.

=> 그러므로, Column Space의 Dimension 또한 Rank(A)와 동일한 것을 알 수 있다!!

=> Dimension of C(A) = r

 

이를 정리를 해보면 다음과 같다!

 

(추가!)

그러므로, linearly independent한 column vector와 row vector 개수는 모두 rank(A)=r로 똑같다!!

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마지막으로 Full Rank에 대해서 살펴보자.

(Full Rank)

m by n 행렬 A에서 rank(A)=r=min(m,n)

즉,

좌우로 길쭉한 경우 (m<n)인 경우 r=m,

위아래로 길쭉한 경우 (m>n)인 경우 r=n,

정사각행렬인 경우 (m=n)인 경우 r=m=n

을 만족하면 된다.

 

이 Full-rank는 2-2에서 역행렬의 존재조건에서 보았듯이 아주 중요하고, 다음 챕터에서 부가적으로 더 설명을 할 예정이다!