*본 내용은 선형미분방정식에도 그대로 적용이 될 수 있습니다!!
(참고링크) -> 선형사상과 행렬표현이 동일하다는 내용을 꼭 보고 옵시다!!! 미적분학 내용 몰라도 이해는 가능합니다!
(미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear Mapping, Matrix): https://0418cshyun.tistory.com/12
(미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear Mapping, Matrix)
일단 사상(Mapping)이란 무엇인지 알아보자. (Mapping) 간단히 말해 어떤 값을 다른 값에 대응시키는 것을 말한다. (값이 굳이 수일 필요는 없다(ex. 함수를 대응시킬수도...)) 함수(function)하고 비슷한
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저번시간에는 역행렬을 구하는 내용, 그리고 벡터공간의 여러가지 subspace를 보고 왔는데, 그러면 이를 바탕으로 진짜로
Ax=b
를 푸는 방법을 알아보자!
당연히 "그냥 역행렬 구해서 곱해버리면 되지!!" 라고 생각하지 말고,
약간 돌아가지만, 미분방정식에도 그대로 적용할 수 있는 일반해와 특수해에 대한 내용으로 이어가보자.
Ax=b
을 어떻게 풀지 생각해보자...
1.
먼저, 아주 심플하게 b=0인 경우를 생각해보자. (미분방정식에선 Homogeneous Form이라고 한다.)
Ax=0
이 방정식의 해는 저번 시간에 보았던 A의 NULL SPACE 위에 있는 원소 중 "하나"가 된다!
즉, 이 해를 x_n이라고 한다면, x_n은 오직 A에만 의존한다!!! (A의 Null Space이니!)
이를 좀 더 세련되게 적는다면,
그런데, 이 Nullspace는 Subspace였다.
그렇다면, 이 방정식을 만족시키는 해를 두 개 잡는다면 (Null space의 원소에서 -> 두 개 잡아오자!) 다음과 같은 생각을 할 수 있다!
즉, solution들의 선형결합(Linear Combination)을 해도 그대로 Null space에 존재하기 때문에 선형결합한 것도 해가 된다!!
이를 이용하면
Ax=0을 만족시키는 대표적인 것들 몇 가지를 구해서 선형결합을 하면...
=> Ax=0의 모든 해를 표현할 수 있다!!
이를 좀 더 자세히 이해하기 위해서 부정형 연립방정식을 살펴보도록 하자.
-> x_1을 구할 때, 그냥 숫자 넣어서 "일반해"를 뽑아낼 수 있다!!
혹은,
-> 이 경우도 x_1,x_2 구할 때, 그냥 숫자 집어 넣어서 "일반해"를 뽑아낼 수 있다!!
그런데... 위의 경우에선 해를 하나((1,-1,-1))만 구하고, 아래 경우에선 해를 두 개((1,0,-1),(0,1,-1)) 구했다.
이 개수를 어떻게 알고 정해야 할까...??
답은 바로 -> NULL Space를 표현하기 위해서 몇 개의 해(벡터)가 필요한가??? 이다
이를 설명하기 위해선 Span, Basis, Dimension같은 개념들이 필요한데, 이는 나중에 더 자세히 설명하기로 하고, 여기선 다음의 설명으로 대체한다.
먼저, 첫 예시에서는 다음과 같은 식이 나왔다.
이를 만족하는 공간이 바로 A의 Null space가 되고, 이미 알고 있듯이 이건 "3차원 공간에서의 직선"이다.
-> 직선은 그냥 "하나"의 방향 벡터만 필요하다! => basis 1개
-> 그러므로, 해 벡터를 "하나"만 구하면 된다.
=> 이를, Span, Basis, Dimension등의 용어를 이용해서 말하면...
=> N(A)가 "3차원 공간에서의 직선"이고, Dimension이 1이기 때문에,
N(A)의 basis로 N(A)내부에 있는 방향벡터 (1,-1,-1) "하나"를 정하면,
이 basis는 N(A)으로 Span(확장)이 된다.
(물론, Equal 표현이 정확한 표현은 아니지만, 이해하는데는 수월하다!)
두번째 예시에서는 다음과 같은 식이 나왔다.
이를 만족하는 공간이 바로 A의 Null space가 되고, 이미 알고 있듯이 이건 "3차원 공간에서의 평면"이다.
-> 평면은 "두 개의 벡터(서로 수직)"가 필요하다! => basis 2개
-> 그러므로, 해 벡터 "2개"를 구하면 된다.
=> 이를, Span, Basis, Dimension등의 용어를 이용해서 말하면...
=> N(A)가 "3차원 공간에서의 평면"이고, Dimension이 2이기 때문에,
N(A)의 basis로 N(A) 내부의 서로 수직인 벡터 (1,0,-1),(0,1,-1) "두 개"를 정하면,
이 basis는 N(A)으로 Span(확장)이 된다.
정리하자면...
Ax=0을 만족시키는 해 -> N(A)!
N(A)를 표현하기 위해선 N(A)의 Dimension만큼의 서로 수직인 벡터(Basis)가 필요!
=> 이 Basis들의 선형결합으로 N(A)를 표현할 수 있다!
=> Ax=0의 모든 해를 표현할 수 있다!!
2.
Ax=b
그러면, 이번에는 b가 존재하는 상황으로 다시 돌아와보자.
우리가 "억지로" Ax=b를 만족하는 해를 하나 잡았다고 생각해보자. 이 해를 x_p라고 한다면, 당연히 x_p는 b에도 의존할 것이다!
이러한 x_p를 우리는 "특수해(Particular Solution)"이라고 말한다.
이를 좀 더 세련되게 적는다면,
그런데, 여기서 Ax=0의 해(x_n -> 여기선 Homogeneous Solution이라고 한다.)와 Ax=b의 해(x_p -> Particular Solution)의 관계성을 살펴보자...
즉, 여기서 x_n은 Ax=b의 해의 여부에 대해서, 전혀 영향을 못 주고 있다!!
=> 그러므로, Ax=b의 해를 "더 일반적"으로 쓴다면 Ax=0의 해(x_n)과 Ax=b를 만족하는 하나의 특수해(x_p)로 쪼갤 수 있을 것이다!
이를 선형방정식의 Superposition Principle(중첩원리)라고 한다. (이는 선형미분방정식에도 그대로 적용가능한 내용이다!)
여기서, 여러 가지 의문이 들 수 있다...
1. x_p를 억지로 잡는다고 했는데, 이게 무슨 말이지???
2. x_p가 존재하는가??? (특수해의 존재성)
3. Ax=0에서 x는 여러 개가 될 수 있었는데, 여기선(Ax=b) x_p가 하나로 딱 정해질 수 있을까??? (특수해의 유일성)
1. x_p를 억지로 잡는다는게 무슨 말인지 좀 제대로 와닿으려면 미분방정식의 예시를 들어야 한다. (이 논의는 "선형미분방정식"에서도 그대로 적용가능하다고 하였다!!!)
간단한 1차 미분방정식을 가져와보자. (y=f(x) -> y는 오직 x에 대한 식!)
이 미분방정식을 푸는 방법은...
그냥 y와 x를 서로 딱 쪼개서 양변에서 적분해버리면 된다!
그런데, 이를 약간 변형한 문제가 나온다면...?
아마 미분방정식 문제가 낯설다면, 막막해질 것이다...
이 문제를 푸는 방법이 바로 x_p를 억지로 잡는다는 것이다!
-> (y를 미분한 것)과 y를 더했더니 x가 나왔다는 것은, y가 x에 대한 다항함수(Polynomial)일 확률이 아주 높다는 것이다!
-> 그러면 그냥 y를 다음과 같이 가정하고 풀어보자!
(2차 이상으로 가정하지 않은 이유? -> (y를 미분한 것)과 y를 더하면 2차 이상의 항이 살아남기 때문!)
=>
그러면, 이 미분방정식의 해는 다음과 같다.
=====>>>>>>>
결국에 여기서 말하고자 하는 것은, 일단 특수해는 어떤 방식으로든 구하기만 하면 된다는 점에서 "억지로" 잡는다고 말한 것이다!
2. x_p가 존재하는가??? (특수해의 존재성)
이 문제는 사실 지난 Column Space의 내용을 이용한다면, 아주 심플하게 해결할 수 있다.
=> Column Space C(A)는 "Ax"로 만드는 모든 벡터들의 집합으로 볼 수 있다!!
=> 즉, b가 Column Space에 있다면, 특수해 x=x_p는 존재할 것이고, 아니면 x_p가 존재하지 않을 것이다!
3. x_p는 딱 하나로 정해지는가??? (특수해의 유일성)
사실, 이건 딱 하나로 정해지지 않을 수도 있다. 간단하게 생각해보자면...
그러면, 이를 이용해서 한번 문제를 풀어보면...
위에서 x_p만 바뀌었다...
그러나, 모두 Ax=3을 만족하는데, 잘 생각해보면
이는 Homogeneous Solution(Ax=0)의 "상수"가 변화함에 따라서, 그냥 숫자가 맞추어지는 것으로 볼 수 있다!
=> 그러니, 특수해 하나만 잘 구하면, 나머지는 "Homogeneous Solution(Ax=0)"이 알아서 잘 해준다!!!
자... 그러면 오늘 내용을 정리해보자.
1.
Ax=0
Ax=0을 만족시키는 해 -> N(A)!
N(A)를 표현하기 위해선 N(A)의 Dimension만큼의 서로 수직인 벡터(Basis)가 필요!
=> 이 Basis들의 선형결합으로 N(A)를 표현할 수 있다!
=> Ax=0의 모든 해를 표현할 수 있다!!
2.
Ax=b
Ax=0을 만족시키는 해 -> N(A) -> 여기선 Homogeneous Solution(x_n)!
Ax=b를 만족시키는 하나의 해 -> Particular Soltuion(x_p)!
General Solution(일반해) = x_n+x_p!!
이렇게 접근함으로써, 그냥 역행렬 곱해버리는 것으로는 얻을 수 없었던 Intuition들, 특히 선형미분방정식에 바로 적용할 수 있는 아주아주 중요한 Tool을 하나 얻었다.
다음 시간에는 위에서 잠깐 짚고 넘어갔던, Dimension, Basis등의 내용을 살펴보도록 하자.
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