(선형대수학) 5-3. 역행렬 존재성에 대한 조건을 정리해보자(1)

역행렬이 존재할 조건 (즉, 역행렬이 존재한다와 "동치"인 명제들)을 정리합니다!

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여기선 "정사각행렬(n by n)"인 경우만 생각합니다. (일단 길쭉한 것들은 정확한 "역행렬"의 의미가 아니므로)

 

행렬 A(n by n)에 대해서 역행렬이 존재한다는 것은

1. A가 Invertible하다! (이 말 자체가 역행렬이 존재한다는 뜻입니다.)

2. A의 Columns / Rows 가 모두 Linearly Independent

3. A의 Column / Row Space의 차원(Dimension) = n

4. A의 rank -> rank(A) = n (Full-rank)

5. A의 Pivot에 0이 존재하지 않는다.

6. A의 Reduced Form (혹은 Echelon Form)에 [0,0,0,...0]으로 쭉 밀리지 않는다!

7. Ax=0의 해가 x=0 하나 밖에 없다!(해가 유일!)

8. Ax=b의 해가 x=A^(-1)b 하나 밖에 없다!(해가 유일!)

9. A의 Determinant (det(A))가 0이 아니다!

10. 모든 Eigenvalue / Singular Value가 0이 아니다!

 

(9, 10번은 아직 내용이 나오지 않았으므로, 설명을 패스합니다.)

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1~6번까지는 앞에서 다 설명한 내용이고,

7~8번은 모를 수도 있을 것 같아서, 설명하고 넘어갑니다.

 

먼저, 당연히

(역행렬이 존재한다면) => (7,8이 성립!!)

은 당연합니다...

 

(증명)

A의 역행렬이 유일하기 때문에, 위에서 구한 x도 당연히 유일한 solution일 것입니다!

 

그러면, 반대로는 어떻게 증명할까요???

(7 or 8이 성립) => (역행렬이 존재!)

 

(증명)

한 point는 0차원이라는 것을 사용하면 바로 증명할 수 있습니다!

 

자, 이를 통하면 만약에 A가 역행렬이 존재하지 않는다면...

 

=> 1. Ax=0의 경우, x=0이 항상 해가 되기 때문에, 그리고, Null space의 Dimension이 0보다 크기 때문에(즉, 1차원 이상)

=> 무수히 많은 해(Null space에 있는 모든 점이 해!)를 가진다!

 

=> 2. Ax=b의 경우, b가 C(A)에 있나 없나에 따라서, 해가 있을 수도 있고, 없을 수도 있기 때문에

=> 무수히 많은 해(Null space에 있는 모든 점이 해!)를 가진다! / 혹은, 해가 없다! (b가 C(A)에 존재하지 않는다!)

 

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그러면, 역행렬이 존재하지 않는 조건들도 살펴봅시다.

 

행렬 A(n by n)에 대해서 역행렬이 존재하지 않는다는 것은

1. A가 Singular matrix! (이 말 자체가 역행렬이 존재하지 않는 matrix라는는 뜻입니다.)  / non-invertible

2. A의 Columns / Rows 가 모두 Linearly Dependent

3. A의 Column / Row Space의 차원(Dimension) < n

4. A의 rank -> rank(A) < n (Not Full-rank)

5. A의 Pivot에 0이 존재한다.

6. A의 Reduced Form (혹은 Echelon Form)에 [0,0,0,...0]으로 쭉 밀린다! (이 zero-row를 가진다!)

7. Ax=0의 해가 무수히 많다!

8. Ax=b의 해가 없거나 무수히 많다!

9. A의 Determinant (det(A)) = 0

10. Eigenvalue / Singular Value에 0이 존재한다!

 

(9, 10번은 아직 내용이 나오지 않았으므로, 설명을 패스합니다.)

 

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(추가)

좌우로 길쭉 / 위아래로 길쭉한 경우엔?? => 5-2 참고!

=> 차원을 높이는 쪽의 inverse는 존재하지 않음!

=> 차원을 내리는 쪽의 inverse는 그 차원만큼 Full-rank인 경우, inverse가 존재!