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(선형시스템) 4-1. Response의 성능 in Time-Domain 이번에는 Response의 성능(Performance)에 대해서 알아보자. 일단, 아무 Input도 안 주면 아무 일도 안 일어날 것이다.(Initial Value가 안정되었다는 것을 가정하자) 앞에서는 Impulse를 주었는데, 이번엔 원하는 output을 얻기 위해서 Step Input을 줘보자. 즉, t=0에서부터 u=1로 주자! (주어진 시스템은 다음과 같다.) 1. Rise time -> 주어진 Final Value의 10%~90%까지 걸린 시간을 말한다. (초록색 점 사이) 2. Peak time -> Response가 최고점(peak)를 찍을 때까지 걸린 시간을 말한다. (빨간 점) 3. Overshoot -> Response가 Final Value보다 더 지나친 정도를 말한다. 4. Set.. 더보기
(선형시스템) 3-2. Lyapunov Stability in LTI System 앞에서 LTI Sytem의 안정성을 설명하면서 Internal Stability(시스템 자체의 안정성)에 대해서 보았는데 -> Response가 시간이 지나면서 Bounded, 혹은 0으로 수렴하면 Stable하다고 하였다. 그러면, 진짜로 반응을 보아야만, Stability를 따질 수 있나? 라는 생각이 들텐데, 당연히 그건 아니고 -> Pole의 위치를 보면 된다! -> Routh Test 이번에는, Pole의 위치를 보지 않고, Stability를 따질 수 있는 방법을 소개한다. -> Lyapunov Stability (Lyapunov Equation) 이 때, A,B는 정사각행렬이다. (X는 꼭 정사각행렬일 필요없다.) (Lyapunov Stability) (만약에 positive definite.. 더보기
(선형시스템) 3-1. LTI system의 안정성 (Stability of LTI System) (참고!) (선형시스템) 1-3. 전달함수와 Pole, Zero (Transfer Function, Pole, Zero): https://0418cshyun.tistory.com/118 (선형시스템) 1-3. 전달함수와 Pole, Zero (Transfer Function, Pole, Zero) 이번에는 LTI 시스템의 전달함수만 따로 떼어서, 조금 더 살펴보도록 하자. (Transfer function and Impulse) 앞에서 본 바와 같이, 라플라스 변환을 이용하면 그러므로, 예를 들어서 시스템에 뭐 망치로 0418cshyun.tistory.com 이번엔 LTI system의 안정성에 대해서 알아보자. "선형"시스템이니, 안정성도 두개로 쪼개서 알아볼 수 있을 것이다. 1. 오로지 Input에 .. 더보기
(선형시스템) 2-2. 마음대로 잡아도 되는 State-Variable (Equivalent System of LTI) 이번에는 선형시스템에 대해서 State Variable을 마음대로 잡아도 되는 것을 보인다. -> 다만 표현에 변화가 생긴다! 일단 주어진 LTI 시스템에 대해서... 이 때, 내가 마음대로 State-Variable을 바꾸어보자! 단, 이 때 P는 nonsingular라고 하자. (즉, 정보가 그대로 보존은 되어야 한다.) 그러면 즉, 다음 두 시스템은 동일하다 (Equivalent System) 그리고, 전달함수도 당연히 동일하다! 이를 통해서, 시스템을 보다 보기 좋게 만들 수 있다. 또한, 시스템의 특성도 더 잘 보이게 만들 수 있는데, 예를 들어서... 이렇게 만들어진 시스템은 언제나 Controllable하므로, 이를 Controllable Form이라고 한다. 게다가, 이를 약간만 변형시키면.. 더보기
(선형시스템) 2-1. MIMO LTI System의 해 1-2에서는 SISO LTI System을 어떻게 수식으로 표현하는지 알아보았었는데, 이번엔 MIMO인 경우로 확장을 해서 보도록 하자. 여기선 라플라스 변환을 안 쓰고, 직접 구할 것인데, 이를 위해선 지수에 "행렬"이 들어간 것의 의미를 알 필요가 있는데, 사실 별거 아니고 (Exponential with Matrix) 즉, Diagonal Decomposition으로 다 쪼갠 후에 exponential 함수 태운 것이라고 생각하면 된다. (단, Eigenvalue가 중복인 경우에 Jordan Form을 생각해야 한다.) (즉, 중복인 Eigenvalue의 위에 1이 붙는다.) 중복인 경우만 잠시 살펴본다면 임을 알 수 있으므로, 즉, 멀어질수록 자리가 하나씩 밀렸을 뿐이지 무한합이면 exponent.. 더보기
(선형시스템) 1-3. 전달함수와 Pole, Zero (Transfer Function, Pole, Zero) 이번에는 LTI 시스템의 전달함수만 따로 떼어서, 조금 더 살펴보도록 하자. (Transfer function and Impulse) 앞에서 본 바와 같이, 라플라스 변환을 이용하면 그러므로, 예를 들어서 시스템에 뭐 망치로 갖다가 때린다던지 하는 Impulse를 주면, 시스템 고유의 Response가 나온다는 것을 알 수 있다! 또한, 여기서 더 나아가서 대부분의 물리량이 애초에 "유리수"로 주어지므로, (예를 들어서, 질량이 (pi) kg인 경우는 거의 없을테니) 대부분의 Transfer Functions는 다음과 같은 (유리수로 이루어진 다항함수의 분수꼴)로 나온다... 즉, 이 때, n>=m : Improper Transfer function이라고 한다. n Improper의 경우 무한대로 발산... 더보기
(선형시스템) 1-2. LTI 시스템은 어떻게 수식으로 쓰는가? (State-Space Equation of LTI System) 지난 시간엔 시스템에 대한 간략한 내용과, 시스템의 분류를 보았다. 그리고, LTI 시스템에 대해서 알아본다고 하였다. LTI 시스템에 들어가기 전에, State-Variable(상태변수)에 대한 내용을 보자. (State Variable)(상태변수) -> 시스템에 관여하는 변수라고 할 수 있다. ex) Mass-Spring-Damper System (여기서 x는 x(t)로 위치를 말한다.) 사실, 여기서 State-Variable은 정해주는 사람 마음이긴 하다... (y=x'-x로 잡는다고 해도, 아무 문제는 없다. 다만 행렬이 너무 더러워져서 문제...) 그러나, 정말로 아무렇게나 잡으면, 행렬의 특성상 너무 과다하거나, 불충분한 정보로 시스템을 제대로 표현할 수 없다. 대부분 저렇게 미분방정식 형태.. 더보기
(선형시스템) 1-1. 뭐하는 카테고리입니까? (What is Linear System?) 이론에 들어가기 전에 인공지능에 대해서 잠깐 생각해보자. 간단한 예로 chatGPT가 있을텐데, chatGPT의 역할을 아주아주아주 간단하게 생각해보자... 아주 간단하게, chatGPT는 input을 받아서 output을 뱉어주는 하나의 system으로 볼 수 있다. 이렇게 본다면, System이라는 것은 결국에 수학적으로는 함수(Function)이라고 생각할 수도 있을 것이다... 그런데, 이렇게 함수로 쳐다본다면, Well-Defined라는 개념이 생각날 것이다. 즉, 내가 chatGPT에 한국의 수도를 물어봤을 때의 답과, 친구가 chatGPT에 물어보았을 때의 답이 당연히 같아야 할 것이다. ---->>>같은 input에 다른 output이 나와버리면 안된다! 그러나, 인공지능의 경우 질문에 따.. 더보기

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