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(해석학) 26. 함수를 재보자! (Measurable Functions) 지난 시간까진, 집합을 재어보았다면 이번 시간에는 함수를 재볼 것이다. 먼저, Measure가 정의된 Space에 대해서 생각해보자. (Measure Space, Measurable Space)(측도 공간과 잴 수 있는 공간) 예를 들어서, X가 자연수집합, sigma-ring을 X의 모든 부분집합, mu(A)를 A의 원소 개수라고 한다면 -> X는 잴 수 있는 공간! 그리고, 이 Measurable Space에서 정의된 함수에 대해서 Measurable Function을 정의하자. (Measurable Function)(잴 수 있는 함수) 어떻게 생각하면 되냐면.... 르벡적분 시작부분에서 다음 그림을 보았다! 르벡적분 부분에서, A의 길이(측도)는 결국에 저 가로로 길쭉한 직사각형의 가로 길이를 말하.. 더보기
(해석학) 25-2. 측도의 정의 Extended.... (Definition of Measure 2) 저번 시간까지, Measure에 대한 정의를 알아보았다. 그런데, Ring에서만 정의되었고(Measure m on ring E), sigma-ring으로 확장하려고 했다. (mu*를 이용해서!) 이 Sigma-ring은 어떻게 생겼을까??? 이를 위해서 다음과 같은 정의를 보도록 하자. (Measurable Set)(잴 수 있는 집합) 즉, A가 주어졌을 때, A로 수렴하는 Elementary set의 sequence가 존재할 때, Finitely mu-measurable이라고 하고, 이러한 것(finite mu-measurable set)의 Countable개로 만든 Collection을 mu-measurable이라고 한다. -> 2번 조건을 만족하는 집합을 Measurable Set(잴 수 있는 집합.. 더보기
(해석학) 25-1. 르벡 적분의 시작 - 측도의 정의 (Definition of Measure) 아주아주 간단히 이야기해서, 측도(Measure)는 집합의 길이라고 생각하면 된다. 이를 기억해두고 내용을 진행한다. 측도(Measure)에 대해서 들어가기 전에, 추상대수학의 선수지식을 알아두면 좋은데, "Ring(환)"에 대한 내용이다. (Ring) 즉, 합집합과 차집합이 닫혀있는 것이 Ring이다. 이 때, 무한합집합이 닫혀있으면 sigma-ring이라고 한다. 여기서 헷갈리면 안되는 것은 Ring의 정의만 가지고, 무한 합집합이 R에 포함되는 것은 모른다는 것이다! (해석학 앞쪽의 Set Theory 참고!) (NOTE) (집합의 성질만 쓰면 바로 증명이 가능하므로 증명은 생략...) 그리고 여기서 Ring의 각 원소(집합)에 대응되는 함수를 만들어보자. -> 이 Set Function을 이용해서.. 더보기
(선형대수학) 선형대수학 개요 이 카테고리에서는 수학을 많이 쓰는 사람들에게 가장 필수적이지만, 수학 비전공자에겐 약간 생소할 수 있는, 선형대수학(Linear Algebra)에 대해서 알아보도록 합니다. 실제로 어떤 시스템을 모델링을 할 때, "다변수"는 필수불가결한 내용이고, 이 다변수를 위해서 시스템을 "행렬" 꼴로 바꾸는데, 선형대수학은 바로 이 "행렬"을 다룬다고 생각하면 됩니다. 이에 대한 연결고리는 미적분학 카테고리(https://0418cshyun.tistory.com/10)에도 있으니 참고바랍니다... 또한, 제가 수학과 선형대수 수업은 듣지 않아서 공대 느낌이 더 날 수 있으니, 참고바랍니다.... 아마, 대부분의 책들이 다들 비슷한 것으로 알고 있어서 많이 쓰는 선형대수학 책들 중 아무거나 참고해도 아마 이해하는데.. 더보기
(해석학) 24. 리만-스틸체스 적분의 문제점과 르벡적분의 등장(Lebesgue Integral) 이번 챕터부터 끝까지, 르벡 적분에 관한 이야기로 마무리를 지어보려고 한다. 먼저, 리만-스틸체스 적분이 어떤 문제점이 있었는지 생각해보자... (Not Integrable Function(Riemann-Stieltjes)) 왜냐하면 Partition을 어떻게 잡던지 Upper Integral=1, Lower Integral=0 이 되기 때문이다. 그러나, 직관적으로 이 적분값은 0이 되는게 맞아보인다. (왜냐하면, 무리수 개수>>유리수 개수이므로...) 그럼, 이런 식으로 적분값이 나오게 어떻게 할까??? 1. 일단 Partition을 잡는 방법으로는 불가능하다는 것은 당연해 보인다... -> Partition을 어떤 식으로 잡아도 정의가 안되므로... 2. 그러면, 적분 자체가 어차피 면적을 구하는 .. 더보기
(해석학) 23-2. 3차원에서의 스토크스 정리 (Stoke's Formula, Divergence Thm) 지난 시간에는 3차원 공간에서 면적분을 다루면서 면적소 N에 대해서 알아보았다. 그러면, 이를 똑같이 1-surface(curve)에도 동일하게 적용시킬 수 있지 않을까??? -> 그러면 적분하면 곡선의 길이가 나올 것이다! 1-surface에 대해서 앞에서 했던 내용을 반복해보자... 그러면 이번에도 각 점에서 접선을 구해보자! 물론, 이미 접선의 기울기가 미분값이라는 것을 알고 있으니 접선은 다음과 같을 것이다! 즉, 여기서 면적소 역할을 하는 것은 바로 곡선의 미분값이다! 그러므로 이번에도 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다! 그러므로 선적분(Line Integral)도 동일하게 정의할 수 있다 그러면, 이제 저 ds자리(미분형식)에 다른 미분형식을 넣어보자! -> 가장 만만한 미분형식 -> 벡터장을.. 더보기
(해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral) (미적분학 참고링크) (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function): https://0418cshyun.tistory.com/34 (미적분학) 16-1. 선적분과 비슷한 듯... 면적분 (Surface Integral): https://0418cshyun.tistory.com/35 이번 챕터에서는 미적분학에서 이미 본 벡터장에 대해서 이야기 해보자. 먼저, 벡터장의 정의는 다음과 같다. (Vector Field)(벡터장) 즉, 각 유클리드 공간에서 각 점마다 대응되는 벡터함수를 말한다. 그리고, 다음과 같은 개념들을 정의하자. (Gradient, Divergence, Curl) (미분 가능해야 하므로 모두 C.. 더보기
(해석학) 22-3. Potential 함수의 존재성 -> 푸앵카레 보조정리(Poincare's Lemma) 저번 시간에는 Exact Form과 Closed Form에 대해서 다루었는데, Exact Form 자체가 Potential function의 존재성을 말해주므로, 미분형식이 Exact Form인지 아는 것이 중요했다. 그런데, Exact Form이면 Closed Form이 되므로, 이 역도 성립하는지가 궁금하다. 이 역이 바로 푸앵카레 보조정리가 된다. (Poincare's Lemma) 즉, Convex set에서 Closed Form이 Exact Form이 된다. 더 나아가서 Convex set일 필요도 없고, 한 점에서 convex -> Star-Shape이기만 하면 된다! (in 미적분학) 이를 증명하기 위해서, 먼저, 다음 lemma를 하나 살펴보자. (Lemma) 즉, 어떤 고정된 p에 대해서 .. 더보기

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