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미적분학

(미적분학) 8. 내적이 있으니까 외적도 있겠지... 로피탈보다 오히려 더 중요하고 써먹을 수 있는 외적 (Outer Product) 이번에는 3차원 문제에 활용되는 벡터의 외적(Outer Product)에 대해서 알아보자. 이번에도 외적의 정의부터 살펴보자. (Outer Product) (성질) 1. (Commutative) 2. (Linearity 1) 3. (Linearity 2) 4. (inner product) 5. (norm) 각 성질들의 증명은 앞 챕터에서 보았던 determinant의 성질들을 생각하면 금방 유도할 수 있다. 간단한 성질들 말고, 진짜로 중요한 성질들을 보도록 하자. (Direction of Outer Product(외적의 방향)) 즉, 외적은 주어진 두 벡터와 수직이다. 증명은 위에서 본 4번 성질을 이용하고 determinant 성질을 이용하면 된다. 이는 평면의 방정식을 유도할 때, 아주 유용하게 사.. 더보기
(미적분학) 7-2. 역행렬 계산이 왜 이렇게 복잡하지? (Determinant) 저번 챕터에서는 linear combination에 관해 알아보았다면, 이번에는 역행렬 계산과 관련이 있는 행렬식(Determinant)에 대해 알아보도록 한다. 행렬식 자체가 정사각행렬(n by n matrix)에서만 정의가 되므로 여기선 다른 언급이 없으면 n by n matrix라고 생각한다. 일단 행렬식의 정의부터 알아보자. (Determinant) 뭔가가 많이 복잡해보이지만, 일단 순서대로 설명하면 그렇게 어려운 내용은 아니다. 일단 저 sigma는 (1,2,3,...,n)의 permutation(중복되지 않게 줄 세우기)로 위에서 본 예시를 보면 이해가 될 것이다. 또한, 여기서 k를 다음과 같이 생각한다. k=(주어진 sigma를 원소끼리 서로 자리 바꿔치기를 해서 (1,2,3,...,n)을.. 더보기
(미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear Mapping, Matrix) (선형대수학 참고링크) (선형대수학) 6. 선형사상과 행렬 (Advanced!): https://0418cshyun.tistory.com/156 (선형대수학) 6. 선형사상과 행렬 (Advanced!) 이제부터는 Ax=0, Ax=b를 푸는 것을 넘어서 => 여러 가지 Vector Space를 보았으니, 이 Space들 사이의 기하학적 관계를 보려고 한다. (참고링크) (미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear 0418cshyun.tistory.com 일단 사상(Mapping)이란 무엇인지 알아보자. (Mapping) 간단히 말해 어떤 값을 다른 값에 대응시키는 것을 말한다. (값이 굳이 수일 필요는 없다(ex. 함수를 대응시킬수도...)) 함수(function)하고 비슷한 개념.. 더보기
(미적분학) 5-1. 테일러 정리까지 오느라 수고하셨습니다...(Little-O Notation, Taylor Theorem) 저저번 챕터에서 테일러 정리에 대해서 잠시 소개한 적이 있었지만, 다시 한번 간략히 복기해보면 테일러 정리는 미분가능한 함수를 다항함수(Polynomial) 꼴로 근사하는데 쓰이는 정리이다. 다만, 이 근사한다(approximate)는 표현을 다루기 위해서 잠시 Little-O notation에 관한 내용을 다루고 넘어간다. (Big-O Notation) 아마 컴공이나 알고리즘 관련하여 공부하였으면 많이 봤을 개념이다. 쉽게 말해 Big-O Notation은 "주어진 함수 f(n)가 다른 어떤 잘 아는 함수 g(x)의 scale로 움직인다 (이를 f(n)=O(g(n))로 표현한다.)" 라는 개념이다. 즉, Big-O Notation의 목적은 정확한 값의 측정보다는 대충 이 정도로 움직인다라는 것을 보여주.. 더보기
(미적분학) 4. 다 알고 있지만 몰래 쓰는 로피탈 정리와 더 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value Theorem(MVT), L'Hospital's rule) 이번 챕터에서는 테일러 정리에서 필요한 코시 평균값 정리를 소개하고, 이와 관련된 로피탈의 정리를 소개한다. 사실 여기서도 결국에 평균값 정리의 엄밀한 증명은 해석학으로 넘기고, 고등학교 때 배웠던 평균값 정리를 이용하여 코시 평균값 정리와 로피탈 정리를 끌어낼 것이다. 먼저 고등학교 때 배운 평균값 정리에 대해 복습해보자. *****(Mean Value Theorem(MVT)) (NOTE) 대부분 연속조건(나중에는 적분조건)의 경우 닫힌 구간, 미분가능조건의 경우 열린 구간을 사용한다. 간단하게 설명하자면 평균변화율의 값을 가지는 순간변화율의 point가 (a,b) 안에 존재한다는 것이다. 여기서 잠깐 해석학에서 볼 평균값 정리 증명의 Tip을 보자면, 중요하게 보아야 하는건 f(x)의 미분가능성보다도.. 더보기
(미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius) 일단 이 챕터를 시작하기 전에 테일러 급수에 대해서 알고 들어가자. 일단 여기서 테일러 급수는 어떤 함수 f(x)를 다항함수(Polynomial)꼴로 표현하는 방법이라고 생각하면 된다. 예를 들어 exp(x)나 sin(x)등의 함수를 다항함수 꼴로 표현하는 것이다. (NOTE) 나중에 푸리에 급수를 보게 될 일이 있다면 푸리에 급수는 f(x)를 sin, cos의 삼각함수 형태로 표현하는 방법이라고 생각하면 된다. 그런데 아무 f(x)나 다항함수 꼴로 표현할 수는 없다. 정확히 말해서 테일러 급수 형태로 표현은 가능한데 이렇게 만든 급수가 원래 f(x)를 따라가지 않는 경우가 생긴다. 즉, 원래 함수와 테일러 급수의 오차가 너무 나게 된다..... 그래서 이 오차를 측정해서 테일러 급수를 써도 되는지 안되.. 더보기
(미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수는 어떻게 하지? (Alternating Series Test, Absolute Convergence) (해석학 참고링크) -교대급수, 절대수렴- (해석학) 5-2. 시그마(급수)는 막 곱하면 안 되나??? (Convergence of Series 2): https://0418cshyun.tistory.com/55 (해석학) 5-2. 시그마(급수)는 막 곱하면 안 되나??? (Convergence of Series 2) (미적분학 참고링크) -교대급수, 절대수렴- (미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수는 어떻게 하지? (Alternating Series Test, Absolute Convergence) : https://0418cshyun.tistory.com/5 (미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수 0418cshyun.tistory.com 앞 챕터에서 양수항을 가지는 급수만을 다루었다면 이번 챕터에.. 더보기
(미적분학) 2-1. 입실론-델타논법으로 수렴성 증명은 귀찮아 (Comparison Test, Ratio Test, Root Test, Integral Test) (해석학 참고링크) -최소상계/최대하계(sup, inf)- (해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까? (What is Real Number?) : https://0418cshyun.tistory.com/14 (해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까? (What is Real Number?) 아마 여기까지 찾아본다면 고등학교에서 증명하지 않는 정리를 어떻게 증명할까...? 라는 질문을 가진 사람들과 미적분학에서도 증명하지 않는, 혹은 뭔가 애매하게 넘어간 정리들을 좀 확실히 0418cshyun.tistory.com -단조수렴정리- (해석학) 4-3. 단조수렴정리와 수열의 수렴값 찾기 (Convergence of Monotonic Sequence) : https://0418csh.. 더보기