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Mathematics/미분방정식

(미분방정식) 7-3. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (3) 이번 챕터에서는 특성방정식의 해가 "중근"이 나오는 경우를 살펴볼 것이다. 우리 문제가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. 그러면, 6-1에서 본 것처럼 해를 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 해가 2개가 나온 경우에는 두 개를 써줄 수 있었는데, 이 경우에는 근이 하나밖에 나오지 않으므로 위와 같이 써주는 것이 최선이다. 6-1에서 미분방정식의 해가 나올만한 함수들을 골라서 대충 때려넣었듯이, 억지로 이 미분방정식의 해가 나올만한 함수를 하나 더 찾아보자. (IDEA) 결국 exp(-t)는 해가 되어야 하므로, 다음과 같은 식이 해가 된다고 가정해보자! 그러면, 즉, 다음 식은 주어진 미분방정식의 해가 된다! => 우리가 특성방정식의 해로 구한 미분방정식의 해에 t를 곱한 것이 또 다른 해가 된다!! 일.. 더보기
(미분방정식) 7-2. 2nd-order ODE with Constant coefficients (2) 이번에는 특성방정식을 풀었을 때 2개의 허근이 나오는 경우를 살펴보자. 먼저, 미적분학을 보고 왔다면 이미 알겠지만, 오일러 공식을 다시 한번 떠올리자! 지수가 순허수인 경우가 아니라면 다음처럼 볼 수 있다. 자세히 설명할 필요도 없이 그냥 실수부와 허수부분의 지수를 따로 떼어놓았을 뿐이다. => 발산/수렴하는 (Exponential) 부분과 진동(삼각함수)부분을 분리! 두번째로 2차방정식에서 복소수 근이 나오는 경우 -> 당연히 "켤레복소수(Conjugate)" 또한 해라는 것을 알고 있을 것이다. 그런데, 흔히 저지르는 실수 중에 하나가 2차방정식의 계수가 모두 "실수"여야 한다는 조건을 놓친다는 것이다. 즉, 정리해보면 다음과 같다. (Solution of 2nd-Order Equation -> C.. 더보기
(미분방정식) 7-1. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (1) 6-1에서 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 푸는지 간단하게 보았는데, 이번 챕터에서는 조금 더 자세히 알아보도록 하자. 먼저, 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 풀었냐면 => 특성방정식(2차방정식)을 풀고 => 해를 다음과 같은 형식으로 놓고 => 초깃값을 집어넣어서 해를 구한다! 그러면 c1,c2를 구할 수 있으니 그대로 해를 써주면 그게 바로 2차미분방정식의 해였다!! 이 때, 우리는 특성방정식의 해의 종류를 기준으로 조금 더 알아보려고 한다. => 실근 2개 (7-1에서 설명) => 중근 1개 (7-3에서 설명) => 허근 2개(켤레복소수) (7-2에서 설명) 먼저, 실근이 2개인 경우 나올 수 있는 케이스는 다음과 같다. => 양수 2개 => 양수 + 음수 => 음수 2개 (해가 0인 경.. 더보기
(미분방정식) 6-3. General Solution of 2nd-order ODE 그러면, 앞에서 본 Wronskian을 가지고 좀 더 자세히 2차 선형상미분방정식을 들여다보자. 먼저, 우리의 최종 목표는 2차 선형미분방정식 -> IVP를 푸는 것이라고 생각하고 문제를 접근하자. 또한, 여기서 볼 것은 "해의 존재성과 유일성"이 아닌, "일반해의 형태와 존재성"이라는 것을 꼭 기억하자! IVP를 푸는 과정을 두 개로 쪼개서 보자. 1. 2차 선형상미분방정식에서의 일반해를 구하기 2. 이 일반해에서 Initial Condition을 만족하는 해(IVP)를 구하기 => 이렇게 1,2번 문제를 모두 풀어서 c_1,c_2까지 구하면 IVP를 푼 것이다. 1번 문제부터 천천히 생각해보자. 여타 모든 수학문제에서 해를 구하고 증명하는 방식이 그렇듯 -> 1. 존재성, 2. 유일성 을 체크하게 된.. 더보기
(미분방정식) 6-2. Wronskian! 이번 챕터에서는 앞에서 언급한 대로 Wronskian이라는 것을 소개하려고 한다. 먼저, 6-1에서 2차 선형 상미분방정식에서 => 적분상수 2개가 나온다! => 이를 결정하기 위해선 => 서로 다른 조건 2개가 필요하다!! -> 이 때 초깃값은 y(0), y'(0)으로 잡는것이 일반적이다!! 그런데, 미분방정식 자체가 물리학에서 나온 문제들이 많기 때문에, 결국 이 조건들은 대부분 "초깃값"으로 잡게 된다. (예를 들어서 F=ma를 통해 물체의 t초 후 위치를 알려고 한다면, 일단은 물체의 초기 위치정도는 알고 있어야 할 것이다!(물론 초기 속도도 알아야 한다)) => 이러한 문제들을 Initial Value Problem(IVP)(초깃값 문제)라고 한다! (Initial Value Problem) (.. 더보기
(미분방정식) 6-1. 2nd-Order ODE (1) 이번시간에는 2차 선형 상미분방정식을 살펴보자. 사실, 1차 미분방정식보다는 훨씬 더 많이 보이는데, 아무래도 물리학의 기본이 되는 "F=ma"가 바로 2차 미분방정식이기때문이다. (x가 시간 t에만 관여된 함수이면, 편미분이나 상미분이나 똑같다!) 그러면 2차 상미분방정식의 일반적인 형태를 살펴보자. (2nd Ordinary Differential Equation) 그러면, 앞에서 보았던 것처럼 선형이면 다음처럼 표현할 수 있을 것이다. (Linear Form) 이 때, (Homogeneous Form) (Non-Homogeneous Form) 라고 볼 수 있다! 그럼, 일단 쉬운 문제부터 생각해보자! -> p(t), q(t) : 상수인 경우! 1차 상미분방정식의 경우에는 식을 적분이 가능하도록 억지로.. 더보기
(미분방정식) 5. Stability in 1st-ODE 이번 챕터에서는 1차 상미분방정식에서의 안정성(Stability)에 대해서 알아보자. 먼저 여러가지 용어에 대해서 잠시 알아보고 가자. 1. Integral Curve Integral Curve란, 주어진 미분방정식에서 t와 y에 대해서 그래프를 그린 것을 말한다. 자세한 내용은 Example을 참고 2. Autonomous Equation Autonomous Equation이란 다음과 같이 미분방정식이 표현되는 경우이다. 이 경우에도 Separable Equation인 것을 바로 알 수 있기 때문에, 쉽게 문제를 풀 수 있다. 물론, 저 적분식을 깔끔하게 풀 수 있는지는 f에 따라서 바뀔수는 있지만, 푸는 방법 자체는 심플하다. 3. Equilibrium Point Equilibrium point란, .. 더보기
(미분방정식) 4. Application of 1st-ODE 이번 챕터에서는 1차 상미분방정식의 응용에 대해서 알아보도록 한다. Ex1) Mass Flux 100리터의 물이 통에 담겨 있다. 이 통에 1초에 2리터씩 물이 들어오지만, 통에 구멍이 있어서 통에 있는 물의 양에 비례해서 물이 빠져나간다. 통에 들어있는 물의 양을 Q리터라고 할 때, 1초에 (0.1Q)리터씩 물이 나간다고 하면, 물의 양은 시간에 따라서 어떻게 변화할까??? (모델링) => 들어오는 물의 양과 나가는 물의 양의 흐름(Flow) -> (MASS FLUX) (1초간 얼마나 바뀌는지)를 따져보자!! -> 결국, 미분값!!! 1. 들어오는 물의 양 흐름(Flux) 2. 나가는 물의 양 흐름(Flux) 3. 그러므로, 전체 "물의 양"의 흐름을 따져보면 4. 초기조건(Initial Conditi.. 더보기

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