(미분방정식) 4. Application of 1st-ODE

이번 챕터에서는 1차 상미분방정식의 응용에 대해서 알아보도록 한다.

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Ex1) Mass Flux

100리터의 물이 통에 담겨 있다. 이 통에 1초에 2리터씩 물이 들어오지만, 통에 구멍이 있어서 통에 있는 물의 양에 비례해서 물이 빠져나간다. 통에 들어있는 물의 양을 Q리터라고 할 때, 1초에 (0.1Q)리터씩 물이 나간다고 하면, 물의 양은 시간에 따라서 어떻게 변화할까???

 

(모델링)

=> 들어오는 물의 양과 나가는 물의 양의 흐름(Flow) -> (MASS FLUX) (1초간 얼마나 바뀌는지)를 따져보자!! -> 결국, 미분값!!!

1. 들어오는 물의 양 흐름(Flux)

2. 나가는 물의 양 흐름(Flux)

3. 그러므로, 전체 "물의 양"의 흐름을 따져보면

4. 초기조건(Initial Condition)은

그러므로, 우리 문제는 다음처럼 모델링할 수 있다.

이 문제를 풀어보자!

 

그러므로, 물의 양은 위의 식이 된다! (100리터 -> 점점 물의 양이 줄어서 20리터까지!)

 

(NOTE)

아주 시간이 오래 지나게 되면, exponential 항이 사라지므로, 결국 물의 양은 아주 오랜 시간이 지나면 20L가 된다!!!

그런데, 이를 Q(t)를 구하지 않고도 알 수 있다.

물이 들어오는 양과 나가는 양을 한번 잘 생각해보자...

=> 물의 양이 무한히 커질 일은 없고, 물리적으로 음수값도 가질 수 없다.

=> 결국 물의 양은 "안정된 상태"로 갈 것이고, 이 "안정된 상태"라는 말은 => dQ/dt=0을 뜻한다. (물이 들어오는 양과 나가는 양이 동일해진다.) -> 이러한 상태를 "Steady State"라고 한다!

=> 식으로 보면,

즉, 시간이 많이 지나면 물의 양이 20리터가 된다는 것을 굳이 미분방정식을 풀지 않고도 알 수 있다.

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Ex2) 지구탈출속도

 

지구가 완전한 구라고 가정하자. 이 때, 질량 m인 물체가 지구표면에서 수직으로 발사되었을 때, 얼마만큼의 초기속도를 가져야 다시 중력에 의해서 돌아오지 않을까???

(지구의 질량을 M, 반지름을 R이라고 하자)

 

-> 이 문제를 역학적에너지보존문제로 풀어버릴수도 있지만, 여기서는 F=ma를 이용한 미분방정식을 이용해서 풀어보자.

 

(모델링)

v: 물체의 수직방향 속도, x: 물체가 지구표면에서 이동한 거리

 

1. 물체가 받는 힘은 다음과 같다. 

2. 그런데, 속력과 거리 관계는 다음과 같다.

3. 1식에서의 x가 상당히 문제가 된다... 이를 해결하기 위해서, v를 x에 대한 식으로 보자! => 그러므로, t를 없애주자! (by Chain Rule)

그러므로 1식을 다음처럼 고칠 수 있다.

이 미분방정식은 쉽게 풀 수 있다!!

초기속도를 v_0라고 하면

그러므로, 위치 x에 따른 속도 v(x)는

그러면 지구탈출속도 v_0'는 x가 무한대로 갈 때, 저 v(x)가 0보다 커야 한다.

그러므로 지구탈출속도는

 

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Ex3) 방사능 반감기 이용 연대추정

 

탄소-14의 반감기(물질의 양이 반으로 줄어드는데 걸리는 시간)가 약 5700년이라고 한다. 이 때, 탄소-14가 얼마나 남아있는지를 보고 시료가 얼마나 오래된 것인지 추정할 수 있다. 어떻게 추정하는지 알아보자.

 

(모델링)

원래 이 시료가 가지고 있던 탄소-14의 양을 Q_0라고 하고, t년이 지난 후의 탄소-14의 양을 Q(t)라고 하자.

반감기를 생각하면,

그런데, 탄소-14가 줄어드는 양은 다음처럼 모델링할 수 있다.

(즉, 반감기가 일정하다는 말은 줄어드는 양이 자신의 양과 비례한다는 말!)

 

그러므로, 

초기조건을 넣으면

또한, 5700년이 지난 후의 식을 넣으면

그러므로,

-> 만약에 탄소-14가 80% 줄어든 시료를 발견했다면, 이 시료는

-> 13235년정도 지난 시료로 판단할 수 있다.