이번 챕터에서는 1차 상미분방정식에서의 안정성(Stability)에 대해서 알아보자. 먼저 여러가지 용어에 대해서 잠시 알아보고 가자.
1. Integral Curve
Integral Curve란, 주어진 미분방정식에서 t와 y에 대해서 그래프를 그린 것을 말한다. 자세한 내용은 Example을 참고
2. Autonomous Equation
Autonomous Equation이란 다음과 같이 미분방정식이 표현되는 경우이다.
이 경우에도 Separable Equation인 것을 바로 알 수 있기 때문에, 쉽게 문제를 풀 수 있다.
물론, 저 적분식을 깔끔하게 풀 수 있는지는 f에 따라서 바뀔수는 있지만, 푸는 방법 자체는 심플하다.
3. Equilibrium Point
Equilibrium point란, y'=0이 되는 지점을 말한다.
Ex)
다음과 같은 미분방정식이 주어져 있다고 하자.
이 미분방정식을 그냥 풀어볼 수도 있지만, 한번 다음처럼 생각해보자.
t를 시간이라고 생각하고, t=0인 경우 초깃값 y_0가 주어져 있을 때, y가 어떻게 변하는지 살펴보자.
일단 초깃값은 생각하지말고 y에 따른 dy/dt를 생각해보자.
| y<0 | dy/dt<0 | t가 증가함에 따라서 y도 감소한다! |
| y=0 | dy/dt=0 | t가 증가함에 따라서 y가 변화하지 않는다! |
| 0<y<K | dy/dt>0 | t가 증가함에 따라서 y도 증가한다! |
| y=K | dy/dt=0 | t가 증가함에 따라서 y가 변화하지 않는다! |
| y>K | dy/dt<0 | t가 증가함에 따라서 y도 감소한다! |
그러면, 이제 초깃값을 고려해보자.
| y_0<0 | dy/dt<0 | t가 증가함에 따라서 y도 감소한다! | 계속 감소! |
| y_0 =0 | dy/dt=0 | t가 증가함에 따라서 y가 변화하지 않는다! | y=0으로 수렴! |
| 0< y_0 <K | dy/dt>0 | t가 증가함에 따라서 y도 증가한다! | y=K으로 수렴! |
| y_0 =K | dy/dt=0 | t가 증가함에 따라서 y가 변화하지 않는다! | y=K으로 수렴! |
| y_0 >K | dy/dt<0 | t가 증가함에 따라서 y도 감소한다! | y=K으로 수렴! |
이를 그림으로 그려보면....
각각의 곡선이 각 초깃값에서 출발한 y가 된다!
=> 이렇게 그려진 그림을 Integral Curve라고 한다!
(NOTE)
미분방정식의 해의 유일성에 의해서, 서로 다른 초깃값을 가졌다면, 해가 서로 겹치지 않는다.
=> 즉, 저 Integral Curve는 절대로 교차하지 않는다!
또한, 정의에 따르면, dy/dt=0이 되는 point가 Equilibrium point였고, 우리 문제에서는 y=0, y=K가 있다.
-> Equilibrium point에서는 시간이 지나도 해가 변화하지 않는다!!
그런데, 각각의 Solution들이 y=K으로는 수렴을 하는데, y=0쪽으로는 수렴을 안한다.
-> 왜냐하면, (y<0 -> dy/dt<0) / (y>0 -> dy/dt>0) => 시간이 지날수록 y=0에서 멀어지는 쪽으로 움직임!
-> 왜냐하면, (y<K -> dy/dt>0) / (y>K -> dy/dt<0) => 시간이 지날수록 y=K와 가까워지는 쪽으로 움직임!
이렇게, 시간이 가면서 "멀어지는" equilibrium point를 Unstable point라고 하고, "가까워지는" equilibrium point를 Stable point라고 한다.
나중에 고차미분방정식으로 가면, Equilibrium point에서 시간이 지나면서 수렴할 때, 진동하는 경우가 많은데 이 경우에도
1. 수렴 (진동하면서 수렴하는 경우도)
2. 발산하지도 않고, 수렴하지 않음 (ex. sin, cos처럼 진동)
3. 발산 (진동하면서 발산하는 경우도)
이렇게 3가지 케이스로 나눌 수 있고 각각
1. Asymptotically Stable -> 한 점으로 수렴
2. Stable -> 수렴+진동
3. Unstable -> 발산
로 나눌 수 있다.
특히, 진동하지 않으면서 Exponentially 수렴하는 경우는 -> Best Case!!
=> Exponentially asymptotically stable point라고 한다.
1차 미분방정식에서는 Stability를 심플하게 설명했지만, 고차미분방정식으로 갈수록 Stability에 대한 내용이 엄청 중요해진다!
(NOTE)
현상을 모델링 -> 비선형미분방정식 -> 선형화 할 때, 실제로 그 현상이 선형화된 방정식을 따라가는지 알아보는게 꽤나 까다롭기에, "해의 경향성"을 보는데 Stability가 중요하다!
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