(미분방정식) 3-3. Existence & Uniqueness of Solution of 1st-ODE (3)

 

이번 시간에는 저번에 다루지 못했던 1차 비선형 상미분방정식의 해의 유일성(Uniqueness) 문제에 대해서 살펴보자.

 

증명 흐름자체는 선형미분방정식에서 했던 것 같이, 해가 2개 있다고 가정을 한 후, 해끼리 뺀 뒤, 모순점을 찾으면 된다.

그럼 이 해끼리 빼보자!

그러면, 해의 존재성 파트에서 했던 것처럼 립쉬츠 조건을 이용하면, 

그러면

라고 하면,

1. a(t)는 연속함수일 것이다. -> 게다가, t 영역이 compact하므로, 미분불가능한 점이 기껏해야 countable 개수!

2. a(t)>=0 (절댓값)

3. a(0)=0

 

이를 잘 종합해보면...

그러므로, 결국 

이므로, 해가 유일하다는 것까지 증명했다.

 

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정리해보면, 결국

 

1. f, df/dy가 Compact한 구간에서 연속이면 (혹은 립쉬츠 조건을 만족한다면)

2. 그 구간보다 더 작은 Compact한 구간에서 1차 비선형 미분방정식의 해가 존재하고, 유일하다!!!!

 

립쉬츠 조건에 대해서 조금만 더 첨언을 하자면

문제가 "미친듯이 흔들리지 않으면" 된다라고 간단하게 생각할 수 있다.

예를 들어서,

이라고 하자.

그래프를 그려보면...

 

즉, t->0으로 갈수록 미친듯이 흔들리는 함수가 된다.

이러한 경우, 당연히 립쉬츠 조건을 만족하지 못할 것이다.

=> 이런 복잡한 상황 빼고는 왠만하면 "원점 근처"에서는 해가 존재한다고 생각하면 된다.

=> 해가 존재하는 부근을 결국 "선형화"가 가능한 부분이라고 생각할수도 있다.

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수학적인 내용을 모르고 있었다면, 엄밀하게 증명하기가 상당히 어렵고 까다로웠을 것이다.

 

그러니, 그냥 간단하게

1. 선형미분방정식 -> 계수함수가 모두 연속이면 => 해가 존재/유일

2. 비선형미분방정식 -> 주어진 원점 근처 아주 작은 영역에서만 => 해가 존재/유일

정도로만 생각해도 크게 무리는 없다.

 

다음시간에는 1차 미분방정식의 응용에 대해서 설명하도록 한다.