(미분방정식) 3-1. Existence & Uniqueness of solution of 1st-ODE (1)

이번 챕터에서는 앞에서 본 1차 선형 상미분방정식의 해의 존재성에 대해서 알아본다.

이를 위해서 1차 선형 상미분방정식의 해의 존재성이 무엇을 뜻하는지 정확히 써보자.

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(Existence of Solution of 1st linear ODE)

천천히 읽어보면 알겠지만, 저 y에 대한 식을 만족하는 해 phi(t)가 존재하는지 안하는지에 대한 내용일 뿐이다.

 

그런데, 한가지 짚고 넘어가야 할 것이 있다.... -> 문제에 Initial Condition까지 포함해야 한다는 것이다!

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<Initial Condition!!!>

1. 앞에서도 보았지만, Initial Condition이 없다면... -> 적분상수가 그대로 튀어 나온다!

=> 그러므로, 해가 여러개 나올 수 있다!!

ex)

 

(NOTE)

위의 example에서 y(t)=0 또한 Solution이 되는 것을 알 수 있다. 이런 식으로 y(t)=0이 되는 경우, 이 y(t)=0을 Trivial Solution이라고 한다.

=> 선형미분방정식(g(t)=0인 경우)에서는 항상 y(t)=0이 해가 되는 것을 알 수 있을 것이다...

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2. Initial Condition이 진짜로 초깃값을 말하는 것인가?

=> 위의 문제 정의에서도 볼 수 있듯이, 그냥 t가 정의된 구간 안에서 적분상수를 잡아줄 한 point만 잡으면 된다.

=> 즉, Final Value가 될 수도 있고, 중간 값이 될수도 있다!

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3. 만일 2차 상미분방정식(두번 미분한 것이 들어가 있다면...) => 아직 자세히 설명은 안했지만, 결국엔 적분을 두 번해서 해를 구할 것이다! => 적분상수가 2개가 튀어나온다!!!

그러면, 위의 내용대로 추론해보면, Initial Condition 2개를 잡아주어야 적분상수를 결정할 수 있을 것이다!!

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4. 편미분방정식의 경우 간단히 생각해보자....

=> 편미분은 "다변수함수"에서 등장한다.

=> 간단하게 2변수함수라고 생각하자. 즉, y=y(t,x), 이런식으로 y가 t,x에 대한 함수로 튀어나오게 된다...

=> 1차 편미분방정식을 생각해보면, 적분 상수가 어떻게 될까...???

=> t에 대한 적분, x에 대한 적분이 튀어나올 것이다....

=> 총 2개가 튀어나올 것으로 예상된다.

=> 그런데, 실용적으로(대부분, 물리학에서 사용하므로) -> t는 시간, x는 공간에 대한 변수가 된다....

=> 그러므로, t는 대부분 초깃값(Initial Condition)을 사용하게 되고, x는 끝값(Boundary Condition)에 대한 조건을 걸게 된다.

이에 대한 자세한 내용은 후에 편미분방정식을 다룰 때 설명하도록 한다.

 

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(증명)

그러면, 저 해의 존재성은 어떻게 증명할까???

=> 이미 2-2에서 우리는 해의 존재성은 증명했다!! (Integrating Factor!!!)

(NOTE) 여기서 각 계수함수(p(t)(여기선 a(t)), g(t))의 연속성은 "적분"을 깔끔하게 정의하기 위한 조건으로 생각하면 된다!)

 

여기까지는 Initial Condition 없이 해의 형태를 구한 것이고, 여기서 Initial Condition 조건을 추가한다면...

C를 구할 수 있으므로, 결국 해를 구했다!!!

즉, 

그러므로, 해가 존재한다는것까지는 증명했다. 

 

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그러면, 이 해가 "유일하다"는 것은 어떤 것을 뜻하는지 살펴보자.

 

앞의 <initial condition>의 1번에서도 언급했지만, Initial Condition이 없다면, 여러 가지 해가 나오는 것은 어찌보면 당연한 일이다... (적분상수를 결정해줄 것이 없음!)

 

그러므로, 미분방정식에서의 "해의 유일성"은 다음과 같이 "Initial Condition"을 포함한 문제로 생각한다.

 

(Uniqueness of solution of 1st linear ODE)

즉, 위의 문단은 해의 존재성(Existence), 아래 문단은 해의 유일성(Uniqueness)를 뜻한다!

그럼, 이를 증명해보자!!!

 

(NOTE)

위에서 Integrating Factor로 적분상수 C까지 깔끔하게 구한 것이 "유일성"을 보장해주긴 한다. 왜냐하면, 저 p(t), g(t)의 연속성에 의해서, 적분이 깔끔하게 정의되고, 적분상수 C까지 유일하게 구해지므로, 다른 해가 나오지는 않는다.

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(증명)

귀류법으로 증명한다!

(해가 유일하지 않다는 것을 가정하기 위해 z(t)가 0이 아니라고 가정한다!!!)

그러면, 선형성에 의해

그러면, 새로 정의한 함수 z는 다음 미분방정식의 해가 된다.

그런데, 이 미분방정식은 아주 깔끔하게 풀 수 있다.

이 미분방정식은 논란의 여지 없이 저 해 딱 하나만 나오므로, z(t)=0이다. -> 모순!

그러므로, 결국 

=> 해가 유일하다!!!

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다음 챕터에서는 1차 비선형 미분방정식의 해의 존재성과 유일성에 대해서 알아보자!