(미분방정식) 2-2. 1st-Order ODE (2)

(중요!!!!)

미분방정식을 설명하기 위해서, 다음과 같은 논리를 적용할 것이다.

1. 일단 해를 어떻게든 구한다!!! (즉, 어떤 논리를 통해서 해를 구했다... 라기보다는, 일단 이런 식의 방법으로 해를 구할 수 있다는 것을 보인다.)

2. 구한 해가 "유일하다"는 것을 보인다!

 

즉, 뒷 챕터에서 나올 Integrating Factor나 변수분리법 등에서 이러이러해서 이렇게 해를 구했다! 라기 보다는(즉, 논리가 있기 보단)

일단, 어떻게 가정하면 해를 구할 수 있고 -> 이렇게 구한 해가 유일하다!

라는 식의 논리로 진행을 한다!

 

이런 식으로 설명을 하는 이유는 비선형 미분방정식의 해를 구하는 방법 자체가 따로 정해져 있지 않기 때문이다.

(물론, 선형인 경우에는 Formal한 방식을 적용할 수 있다.)

 

이 논리는 뒤에서 나올 Integrating Factor와 변수분리법에서 볼 수 있으므로 참고!!

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그러면 이번 챕터에서는 Integrating Factor에 대해서 알아보자.

 

1-2. 문제상황은

1-2-2. Integrating Factor

1-2-1에서 Homogeneous Solution을 알아보았고, 일반해가 (Homogeneous Solution) + (Special Solution)으로 나오는 것도 알아보았다.

그러나, 1-2-1에서 문제가 되었던 것은, Special Solution을 어떻게 구하는지가 문제가 되었다...

일단 일반해에 Homogeneous Solution이 들어가는 것은 알고 있기 떄문에, 그냥 해를 다음과 같이 잡아버리자!

이 때 저 mu 함수를 Integrating Factor라고 한다.

그러면

 

=> 여기서 알 수 있는 것은...

=> Integrating Factor를 곱해주어 -> y항을 없애버린다!!!

즉, 우리가 Integrating Factor에 Homogeneous Solution의 꼴을 넣어주지 않더라도, 저 y항을 없애주는 mu를 넣어주면, 문제가 풀린다는 사실을 알 수 있다.

 

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1-3. 일반화된 케이스

 

1-3-1. 변수분리법?

앞 챕터에서도 보았지만,

이기 때문에, g(t)=0이 아니고서야 저렇게 쪼개줄 수 없다.... 그러나 앞에서 보았듯이 "비선형" 방정식이라도 저 꼴이면 풀어줄 수도 있다!

 

1-3-2. Integrating Factor

다음과 같이 해를 가정하고 u항을 위에서처럼 제거해버리자!

그런데, 이 때 적분상수 C에 어떤 값을 넣던지 원래 식에서 u 항은 사라진다. 그러므로 편의상 C=1이라고 하자. 

그러므로, u 항을 제거하기 위한 mu 함수를 구했다. 그러면 원래 식은...

그러므로, 1차 미분방정식의 해를 구했다!!!

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그러므로 1차 선형미분방정식의 해의 "존재성(Existence)"은 증명했다. -> 위의 Integrating Factor대로 하면 구해진다!!!

그런데... 해가 하나뿐일까??? (적분상수의 존재를 제외하고서라도) -> 해의 "유일성(Uniqueness)" 문제!!

 

이 문제에 대해서는 다음 챕터에서 다루어보자!