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Mathematics/미분방정식

(미분방정식) 3-3. Existence & Uniqueness of Solution of 1st-ODE (3) 이번 시간에는 저번에 다루지 못했던 1차 비선형 상미분방정식의 해의 유일성(Uniqueness) 문제에 대해서 살펴보자. 증명 흐름자체는 선형미분방정식에서 했던 것 같이, 해가 2개 있다고 가정을 한 후, 해끼리 뺀 뒤, 모순점을 찾으면 된다. 그럼 이 해끼리 빼보자! 그러면, 해의 존재성 파트에서 했던 것처럼 립쉬츠 조건을 이용하면, 그러면 라고 하면, 1. a(t)는 연속함수일 것이다. -> 게다가, t 영역이 compact하므로, 미분불가능한 점이 기껏해야 countable 개수! 2. a(t)>=0 (절댓값) 3. a(0)=0 이를 잘 종합해보면... 그러므로, 결국 이므로, 해가 유일하다는 것까지 증명했다. 정리해보면, 결국 1. f, df/dy가 Compact한 구간에서 연속이면 (혹은 립쉬츠.. 더보기
(미분방정식) 3-2. Existence & Uniqueness of solution of 1st-ODE (2) (NOTE) 이번 시간에는 적어도 연속함수, 미분, Topology에 대한 기본적인 해석학 지식이 필요합니다!!! -> 해석학 카테고리 참고! 이번 시간에는 1차 비선형 상미분방정식의 해의 존재성과 유일성에 대해서 알아보자. 그 전에, 미분방정식의 해를 어떻게 표현할지부터 더 생각해야 한다. (Explicit Form) 미분방정식말고, 흔히 그냥 함수를 표현할 때 이런 식으로 표현할 것이다. ex) 이런 식으로 y를 (y에 대한 변수 t)에 대한 항으로만 써줄 수 있으면 Explicit Form이라고 한다. (아래의 Implicit Form과 비교해보면 바로 느낌이 온다.) (Implicit Form) Explicit Form처럼 표현하지 않고, 그냥 한쪽으로 다 몰아서 쓴 형식을 Implicit For.. 더보기
(미분방정식) 3-1. Existence & Uniqueness of solution of 1st-ODE (1) 이번 챕터에서는 앞에서 본 1차 선형 상미분방정식의 해의 존재성에 대해서 알아본다. 이를 위해서 1차 선형 상미분방정식의 해의 존재성이 무엇을 뜻하는지 정확히 써보자. (Existence of Solution of 1st linear ODE) 천천히 읽어보면 알겠지만, 저 y에 대한 식을 만족하는 해 phi(t)가 존재하는지 안하는지에 대한 내용일 뿐이다. 그런데, 한가지 짚고 넘어가야 할 것이 있다.... -> 문제에 Initial Condition까지 포함해야 한다는 것이다! 1. 앞에서도 보았지만, Initial Condition이 없다면... -> 적분상수가 그대로 튀어 나온다! => 그러므로, 해가 여러개 나올 수 있다!! ex) (NOTE) 위의 example에서 y(t)=0 또한 Soluti.. 더보기
(미분방정식) 2-2. 1st-Order ODE (2) (중요!!!!) 미분방정식을 설명하기 위해서, 다음과 같은 논리를 적용할 것이다. 1. 일단 해를 어떻게든 구한다!!! (즉, 어떤 논리를 통해서 해를 구했다... 라기보다는, 일단 이런 식의 방법으로 해를 구할 수 있다는 것을 보인다.) 2. 구한 해가 "유일하다"는 것을 보인다! 즉, 뒷 챕터에서 나올 Integrating Factor나 변수분리법 등에서 이러이러해서 이렇게 해를 구했다! 라기 보다는(즉, 논리가 있기 보단) 일단, 어떻게 가정하면 해를 구할 수 있고 -> 이렇게 구한 해가 유일하다! 라는 식의 논리로 진행을 한다! 이런 식으로 설명을 하는 이유는 비선형 미분방정식의 해를 구하는 방법 자체가 따로 정해져 있지 않기 때문이다. (물론, 선형인 경우에는 Formal한 방식을 적용할 수 있.. 더보기
(미분방정식) 2-1. 1st-Order ODE (1) (중요!!!!) 미분방정식을 설명하기 위해서, 다음과 같은 논리를 적용할 것이다. 1. 일단 해를 어떻게든 구한다!!! (즉, 어떤 논리를 통해서 해를 구했다... 라기보다는, 일단 이런 식의 방법으로 해를 구할 수 있다는 것을 보인다.) 2. 구한 해가 "유일하다"는 것을 보인다! 즉, 뒷 챕터에서 나올 Integrating Factor나 변수분리법 등에서 이러이러해서 이렇게 해를 구했다! 라기 보다는(즉, 논리가 있기 보단) 일단, 어떻게 가정하면 해를 구할 수 있고 -> 이렇게 구한 해가 유일하다! 라는 식의 논리로 진행을 한다! 이런 식으로 설명을 하는 이유는 비선형 미분방정식의 해를 구하는 방법 자체가 따로 정해져 있지 않기 때문이다. (물론, 선형인 경우에는 Formal한 방식을 적용할 수 있.. 더보기
(미분방정식) 1. Classification of Differential Equation 먼저 미분방정식 카테고리에서 사용할 용어들을 정리해보도록 한다. (미분방정식 -> 1변수) x에 대한 식 y=f(x)에 대해서, 다음 방정식 F의 해 y=f(x)를 구하는 방정식을 말한다. 이 때, y는 x에만 관련되어 있는 일변수 함수이므로, y', y'' ... 는 편미분이 아니라 상미분이다. 그러므로 이렇게 생긴 미분방정식을 "상미분방정식(Ordinary Differential Equation; ODE)"이라고 한다. ex1) ex2) 또한, 미분방정식에서 가장 미분을 많이 한 항을 기준으로 n차 미분방정식(nth-order Differential Equation)이라고 한다. (즉, ex1은 1차(1st-order)미분방정식, ex2는 2차미분방정식) (미분방정식 -> 다변수) 위와는 다르게 y=.. 더보기
(미분방정식) 미분방정식 개요 미분방정식 카테고리에서는 "대학교 학부 수준"에서 사용할 정도의 미분방정식 내용만 다룰 예정입니다. 아마 수학이나 과학에 관심이 있는 분들은 미분방정식에 대해서 아주 많이 들어보았고, 공대생 입장에서 미분방정식은 아마 공업수학으로 수업을 들어보았을텐데요... 대부분은 "푸는 방법"에 대해서 집중을 했을 거라고 생각합니다. 여기서는 약간의 "수학과" 느낌을 더해서, 살짝 이론적인 내용도 가미하도록 하겠습니다. 대략적인 차례는... 1. 상미분방정식(Ordinary Differential Equation) (1차 -> 2차 -> 고차 -> Series(행렬표현) -> 라플라스 변환) 2. 비선형상미분방정식(Nonlinear) (해가 잘 알려진 것만 다룹니다!) 3. 선형편미분방정식(Partial Differ.. 더보기

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