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제어이론

(선형시스템) 4-2. Zero는 어디에 쓰는가? 지금까지 우리는 안정성에 대한 이야기를 하면서, Pole에 관한 이야기만 계속 했었다. 그러면, 앞에서 같이 나왔던 Zero는 별로 중요하지 않을까? 당연히, 그렇지는 않다! (물론, Pole에 비해서는 중요도가 떨어진다고 볼 수 있지만...) 실제로 Unstable한 시스템을 제어하는 경우가 많이 있는데(사실 Unstable한게 더 많은 듯...) -> 즉, RHP에 Pole이 있는 경우가 있다!!! -> 이 Pole의 역할을 상쇄시켜주는 것이 바로 Zero이다! 예를 들어서 다음과 같은 상황을 생각해보자. 이 때 zero는 -> 이렇게 두 개이다. 이 때, z를 움직이면서 zero가 어떤 역할을 하는지 보자. 이런식으로, Zero가 Pole에 붙어주니, Complex Pole의 효과가 사라지는 것을 .. 더보기
(선형시스템) 4-1. Response의 성능 in Time-Domain 이번에는 Response의 성능(Performance)에 대해서 알아보자. 일단, 아무 Input도 안 주면 아무 일도 안 일어날 것이다.(Initial Value가 안정되었다는 것을 가정하자) 앞에서는 Impulse를 주었는데, 이번엔 원하는 output을 얻기 위해서 Step Input을 줘보자. 즉, t=0에서부터 u=1로 주자! (주어진 시스템은 다음과 같다.) 1. Rise time -> 주어진 Final Value의 10%~90%까지 걸린 시간을 말한다. (초록색 점 사이) 2. Peak time -> Response가 최고점(peak)를 찍을 때까지 걸린 시간을 말한다. (빨간 점) 3. Overshoot -> Response가 Final Value보다 더 지나친 정도를 말한다. 4. Set.. 더보기
(선형시스템) 3-2. Lyapunov Stability in LTI System 앞에서 LTI Sytem의 안정성을 설명하면서 Internal Stability(시스템 자체의 안정성)에 대해서 보았는데 -> Response가 시간이 지나면서 Bounded, 혹은 0으로 수렴하면 Stable하다고 하였다. 그러면, 진짜로 반응을 보아야만, Stability를 따질 수 있나? 라는 생각이 들텐데, 당연히 그건 아니고 -> Pole의 위치를 보면 된다! -> Routh Test 이번에는, Pole의 위치를 보지 않고, Stability를 따질 수 있는 방법을 소개한다. -> Lyapunov Stability (Lyapunov Equation) 이 때, A,B는 정사각행렬이다. (X는 꼭 정사각행렬일 필요없다.) (Lyapunov Stability) (만약에 positive definite.. 더보기
(선형시스템) 3-1. LTI system의 안정성 (Stability of LTI System) (참고!) (선형시스템) 1-3. 전달함수와 Pole, Zero (Transfer Function, Pole, Zero): https://0418cshyun.tistory.com/118 (선형시스템) 1-3. 전달함수와 Pole, Zero (Transfer Function, Pole, Zero) 이번에는 LTI 시스템의 전달함수만 따로 떼어서, 조금 더 살펴보도록 하자. (Transfer function and Impulse) 앞에서 본 바와 같이, 라플라스 변환을 이용하면 그러므로, 예를 들어서 시스템에 뭐 망치로 0418cshyun.tistory.com 이번엔 LTI system의 안정성에 대해서 알아보자. "선형"시스템이니, 안정성도 두개로 쪼개서 알아볼 수 있을 것이다. 1. 오로지 Input에 .. 더보기
(선형시스템) 2-2. 마음대로 잡아도 되는 State-Variable (Equivalent System of LTI) 이번에는 선형시스템에 대해서 State Variable을 마음대로 잡아도 되는 것을 보인다. -> 다만 표현에 변화가 생긴다! 일단 주어진 LTI 시스템에 대해서... 이 때, 내가 마음대로 State-Variable을 바꾸어보자! 단, 이 때 P는 nonsingular라고 하자. (즉, 정보가 그대로 보존은 되어야 한다.) 그러면 즉, 다음 두 시스템은 동일하다 (Equivalent System) 그리고, 전달함수도 당연히 동일하다! 이를 통해서, 시스템을 보다 보기 좋게 만들 수 있다. 또한, 시스템의 특성도 더 잘 보이게 만들 수 있는데, 예를 들어서... 이렇게 만들어진 시스템은 언제나 Controllable하므로, 이를 Controllable Form이라고 한다. 게다가, 이를 약간만 변형시키면.. 더보기
(선형시스템) 2-1. MIMO LTI System의 해 1-2에서는 SISO LTI System을 어떻게 수식으로 표현하는지 알아보았었는데, 이번엔 MIMO인 경우로 확장을 해서 보도록 하자. 여기선 라플라스 변환을 안 쓰고, 직접 구할 것인데, 이를 위해선 지수에 "행렬"이 들어간 것의 의미를 알 필요가 있는데, 사실 별거 아니고 (Exponential with Matrix) 즉, Diagonal Decomposition으로 다 쪼갠 후에 exponential 함수 태운 것이라고 생각하면 된다. (단, Eigenvalue가 중복인 경우에 Jordan Form을 생각해야 한다.) (즉, 중복인 Eigenvalue의 위에 1이 붙는다.) 중복인 경우만 잠시 살펴본다면 임을 알 수 있으므로, 즉, 멀어질수록 자리가 하나씩 밀렸을 뿐이지 무한합이면 exponent.. 더보기
(선형시스템) 1-3. 전달함수와 Pole, Zero (Transfer Function, Pole, Zero) 이번에는 LTI 시스템의 전달함수만 따로 떼어서, 조금 더 살펴보도록 하자. (Transfer function and Impulse) 앞에서 본 바와 같이, 라플라스 변환을 이용하면 그러므로, 예를 들어서 시스템에 뭐 망치로 갖다가 때린다던지 하는 Impulse를 주면, 시스템 고유의 Response가 나온다는 것을 알 수 있다! 또한, 여기서 더 나아가서 대부분의 물리량이 애초에 "유리수"로 주어지므로, (예를 들어서, 질량이 (pi) kg인 경우는 거의 없을테니) 대부분의 Transfer Functions는 다음과 같은 (유리수로 이루어진 다항함수의 분수꼴)로 나온다... 즉, 이 때, n>=m : Improper Transfer function이라고 한다. n Improper의 경우 무한대로 발산... 더보기
(선형시스템) 1-2. LTI 시스템은 어떻게 수식으로 쓰는가? (State-Space Equation of LTI System) 지난 시간엔 시스템에 대한 간략한 내용과, 시스템의 분류를 보았다. 그리고, LTI 시스템에 대해서 알아본다고 하였다. LTI 시스템에 들어가기 전에, State-Variable(상태변수)에 대한 내용을 보자. (State Variable)(상태변수) -> 시스템에 관여하는 변수라고 할 수 있다. ex) Mass-Spring-Damper System (여기서 x는 x(t)로 위치를 말한다.) 사실, 여기서 State-Variable은 정해주는 사람 마음이긴 하다... (y=x'-x로 잡는다고 해도, 아무 문제는 없다. 다만 행렬이 너무 더러워져서 문제...) 그러나, 정말로 아무렇게나 잡으면, 행렬의 특성상 너무 과다하거나, 불충분한 정보로 시스템을 제대로 표현할 수 없다. 대부분 저렇게 미분방정식 형태.. 더보기

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