*는 유클리드 공간 혹은 실수축에서만 성립
Chap 4. 수열의 수렴
1. 수열의 수렴성
1.1 수렴성과 극점 :
{x_n}이 수렴하면 수렴값은 {x_n}의 limit point. 역으로, 극점에 수렴하는 부분 수열을 잡을 수 있다.
1.2 수렴성과 Compact set
1.{x_n}이 Compact set에서 정의되어 있다면, x_n에 수렴하는 부분수열을 잡을 수 있다.
2. 모든 부분수열들의 수렴값의 집합은 Closed set
*3. 유클리드 공간에서 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.
2. 코시수열
2.1 코시수열의 수렴성
1. Compact set에서 코시수열이 수렴한다. by 축소구간정리
*2. 유클리드 공간에서 코시수열이 수렴한다.
-> 코시수열이 수렴하는 공간을 Complete Space라고 한다.
3. 단조수렴정리
*3.1 단조유계수열은 수렴한다.
*3.2 수열의 Upper Limit, Lower Limit
Chap 5. 급수의 수렴
1. 급수의 수렴성
1.1 코시수열 체크
1.2 단조수렴정리 체크 (비교판정법) -> Root, Ratio Test
2. 급수 곱의 수렴성
2.1 하나는 (부분합이 bounded), 하나는 (단조감소이고 0으로 수렴)하면 수렴!
2.2 절대수렴하면 수렴한다!
2.3 두 급수 다 수렴하는데 하나라도 절대수렴이면 급수의 곱도 수렴한다!
3. 멱급수(Power Series)
3.1 수렴성과 수렴반경 -> Ratio Test!
4. 재배열(Rearrangement)
4.1 복소수에서 절대수렴하면 재배열해도 값이 동일!
4.2 실수에서 절대수렴하면 당연히 재배열해도 값이 동일
4.3 실수에서 절대수렴안하면, 수렴값의 최대/최소(Upper, Lower Limit)를 마음대로 Bound 시킬 수 있다.
Chap 6. 함수의 연속
1. 함수의 극한과 연속의 정의! -> 입실론-델타 논법 (Local 성질)
2. 연속함수의 성질
2.1 역상의 OPEN/CLOSED 를 보존
2.2 Compact set을 보존
*최대최소정리(Extreme Value Theorem)
2.3 Connected set를 보존
*중간값 정리(Intermediate Value Theorem)
3. 균등 연속(Uniformly Continuous) -> delta가 x=p에 의존하지 않는다! (Global 성질)
3.1 Compact set에서 연속이면 균등연속이다.
*(특히 닫힌구간 [a,b]가 Compact set이라는 것을 기억하자)
4. 불연속점(Discontinuity)
*3.1 1st-kind Discontinuity -> 좌극한, 우극한 존재
*3.2 2nd-kind Discontinuity -> 좌극한, 우극한 정의 X
*3.3 단조함수는 First Kind Discontinuity를 기껏해야 Countable하게만 가질 수 있다.
Chap 7. 함수의 미분
*1. 미분의 정의! -> 극한값이 존재하는가?
*2. 미분의 성질
2.1 미분가능 -> 연속
2.2 Chain Rule
2.3 Local Min/Max -> f'(x)=0
2.4 Rolle's Thm -> 끝점의 함숫값이 같으면 f'(x)=0이 되는 지점이 그 사이에 존재한다.
2.5 Cauchy's Mean Value Theorem, Mean Value Theorem(MVT) (평균값 정리)
2.6 f'(x)은 Connected set를 보존한다.
2.7 로피탈 정리, 테일러 정리
3. 벡터함수의 미분
3.1 미분의 정의 -> 똑같이 적용가능
3.2 미분의 성질 -> 위의 MVT, 로피탈 적용 불가 (대소비교의 문제) -> MVT를 수정....
*Chap 8. 리만-스틸체스 적분
1. Partition과 Refinement
1.1 Partition을 잘게 나눌수록 U는 작아지고, L은 커진다.
2. 리만적분 / 리만-스틸체스 적분의 정의! (Using Partition) -> 언제나 닫힌구간 [a,b]에서 정의된다!
2.1 Upper Integral, Lower Integral을 구할 때의 sup, inf의 범위는
모든 Partition -> 더 잘게 자른 Partition이라고 생각하면 된다.
2.2 리만-스틸체스 적분이 가능하다. <-> 주어진 epsilon에 대해서 U-L<epsilon이 되는 Partition P가 존재한다!
2.3 리만-스틸체스 적분이 가능하다면, 부분구간에서 sup, inf를 잡는 대신, 그 사이의 함숫값 아무거나 잡아도 된다!
3. 리만-스틸체스 적분가능성 -> 언제나 닫힌구간 [a,b]에서 정의된다!
3.1 f가 연속함수 -> 적분가능
3.2 f가 단조함수, alpha가 f가 불연속인 지점에서 연속이고, 단조함수 -> 적분가능
3.3 f가 Piecewise-Continuous이면 -> 리만적분가능(alpha=x 연속...)
3.4 합성함수 (h=g(f(x))) -> f가 적분가능, g가 Range of f(닫힌 구간)에서 연속! -> 적분가능
4. Heaviside Step Function I(x)
4.1 alpha에 I(x)를 잘 이용하면 적분값이 함숫값이 나온다! -> 추후 Dirac-Delta Ftn
(alpha -> 단조증가함수: I(x)를 잘 더해서!)
4.2 리만적분과 리만스틸체스적분 사이의 관계 -> 치환적분법
5. 미적분학의 기본정리(Fundamental Thm of Calculus)
5.1 적분함수가 닫힌구간에서 연속 -> Uniformly Continuous, Max, Min 가짐 on [a,b]
5.2 부분적분법
6. 벡터함수의 적분
6.1 곡선(Curve)의 정의 -> 연속!
6.2 곡선의 길이 -> Polygonal length 의 sup, 미분가능하다면, 곡선을 미분한 함수의 절댓값 적분!
7. 특이적분(Improper Integral)
7.1 f가 unbounded
7.2 구간이 unbounded
8. 리만적분가능한 함수로 이루어진 공간
8.1 Norm이 잘 정의되는데...
8.2 수렴성이 문제... (코시수열 -> 수렴 X) -> 르벡적분의 등장, L_p-Space 등장!
