지금까지 본 내용들이 익숙치 않아서, 아마 정리가 안될 수도 있을텐데,
이번엔 지금까지 본 내용들을 순서대로 간단히 정리해보았다.
Part 1. 실수의 성질
1. Ordered Set (순서집합)
-> 유계(bounded), 최소상계(supremum), 최대하계(infimum)
-> Least-Upper-Bound Property(LUB-Property) : supremum이 X에 존재한다. = 실수의 완비성
2. Field (체)
-> 사칙연산이 잘 정의된 집합
->> 실수는 Complete Ordered Field이다. + 실수는 아르키메데스 성질을 만족한다.
Part 2. 복소수와 벡터
1. Complex Number(복소수)
-> 단지, 실수 2개의 순서쌍으로 정의
2. Euclidean Space(유클리드 공간)
-> 벡터를 실수 n개의 순서쌍으로 정의
-> 내적과 norm을 정의
-> 내적 : Cauchy-Schwarz Inequality (코시-슈바르츠 부등식) / Norm: Triangular Inequality (삼각부등식)
Part 3. 함수
1. Type of Function
-> Surjective Function(전사함수), Injective Function(단사함수), Bijective Function(전단사함수)
-> Bijective Function은 역함수가 존재한다.
Part 4. 집합
1. Countable Set (셀 수 있는 집합)
-> 자연수집합과 대응될 수 있는 집합
2. Uncountable Set (셀 수 없는 집합)
-> Countable set이 아닌 집합 -> 증명위해서 대부분 셀 수 있다고 가정하고 모순을 찾는다.
Part 5. Topology
1. Metric Space(거리공간)
-> 거리함수가 정의된 공간
2. Open set
-> Interior Point of X: open ball을 작게 잡으면 X에 포함이 될 수 있는 경우
-> Open Set: X의 모든 점이 interior point인 경우
-> Open Relative to Y: Y에 대해서 open인 경우
3. Closed set
-> Limit point of X: open ball을 아무리 작게 잡아도, 계속 X와의 교집합이 empty가 아닌 경우
-> Isolated point of X: Limit point가 아닌 경우
-> Closed Set: 모든 limit point가 X에 속하는 경우
-> Closure: X와 X의 limit point의 합집합
4. Perfect set
-> Perfect Set: 모든 limit point가 X에 속하고, X의 모든 점이 limit point인 경우
즉, Isolated Point가 없는 Closed set
5. Dense set
-> X is dense in Y: X의 모든 점이 Y의 점이거나 Y의 limit point인 경우
6. Convex set
-> Convex Set: 두 점을 잡아서 선분을 만들었을 때, 선분이 X에 포함되는 경우
7. Compact set
-> Open cover를 잘 줄이면 언제나 유한 개로 X를 덮을 수 있는 경우
8. Connected set
-> 두 개의 separated set으로 못 나누는 경우 (separated set -> 한쪽에만 closure를 달아도, 공집합)
Part 6. Topology Properties...(*는 실수나 유클리드 공간에 대해서만)
1. Open & Closed set
1. 집합 X가 limit point를 가지면, X는 무한집합
2. Open set <-> Closed set : 여집합 관계
3. Open set의 Infinite 합집합, Closed set의 Infinite 교집합은 open, closed를 보존한다.
4. Closed set에서는 (부분집합의 closure)도 부분집합이 된다.
5. A가 Open Relative to Y이면, A는 Y보다 넓은 범위 X에 대해서, Y와 어떤 open subset G의 교집합으로 나타낼 수 있다.
*6. 실수축에서 sup X, inf X는 X의 limit point가 된다.
2. Compact set
1. Relative to.... 에서 compact 성질은 보존된다.
2. Compact set은 Closed set이다.
3. Compact set의 closed subset은 compact set이다.
4. (Nested Interval Theorem)(축소 구간 정리)
-> compact set의 모음에서 유한개의 교집합이 항상 nonempty이면, 그 모음을 다 교집합해도 nonempty이다.
* -> k-cell에 대해서도 위의 정리가 성립한다. (by 실수의 완비성 -> LUB Property)
* -> k-cell은 compact
*5. (Heine-Borel) (하이네-보렐 정리)
-> 유클리드 공간에서 다음 성질들이 다 동치이다.
*a. A가 유계이고 닫힌 집합
b. A는 compact
c. A의 모든 무한 부분집합은 limit point를 갖는다.
*6. (Bolzano-Weierstrass) (볼차노-바이어슈트라스 정리)
-> 유클리드 공간에서 유계 무한집합이면, limit point를 갖는다.
3. Perfect set
*1. non-empty perfect set은 uncountable이다. -> [a,b]는 uncountable set이다.
4. Connected set
*1. connected set에서 두 점을 잡았을 때, 두 점 사이의 값도 connected set에 포함된다. (중간값 정리)
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