(해석학) 3-3. Compact set이면 다 k-cell처럼 생겼을까? (Cantor Set)

이번 챕터에서는 Cantor Set(칸토어 집합)에 관하여 소개하고, 마지막으로 Connected set(연결 집합)에 관해서 설명하려고 한다.

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(Cantor set)

먼저, Cantor Set은 다음과 같이 만든다.

1. 먼저, I0=[0,1]을 생각한다.
2. I0에서 (1/3,2/3)을 뺀 집합을 I1라고 하자.
3. I1에서 (1/9,2/9),(7/9,8/9)를 뺀 집합을 I2이라고 하자. -> 즉 남아있는 것에서 계속 1/3씩 열린 구간을 뺀다.... -> 반복
4. 모든 I_n의 교집합이 Cantor Set이다.

이 때, cantor set은 공집합이 아니다!

예를 들어서, 1/3은 Cantor set의 원소임은 자명하다.

또한, 1/3,2/3,1/9,2/9,.... -> 각 I_n들의 경계는 모두 Cantor set의 원소일 것이다.

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Cantor Set의 성질에 대해서 좀 더 알아보자.

 

1. 위의 그림에서 보이듯이, Cantor set은 거의 안 보일 정도이고, 각 I_n들의 경계가 모두 Cantor set이므로, countable set이지 않을까??? -> 결론은 아니다!

 

일단, Cantor set이 Uncountable임을 증명하기 위해서, 다음 성질을 알아보자.

 

(Perfect set and Uncountable set)

(증명)

 

P가 countable set이므로, 위에서처럼 P의 원소들을 순서대로 잡아주면(x_1,x_2,....) 결국엔 이렇게 잡은 원소들을 모두 합하면 P가 되어야 한다. 그러나 이러한 방식으로 잡으면, K_n의 교집합이 공집합이라는 결론이 나와 모순이 된다. 그러므로, Perfect set P는 uncountable이다. (단, Closed ball(k-cell)이 compact라는 내용을 썼으므로, 유클리드 공간 한정이다.)

 

(Corollary)

모든 닫힌 구간 [a,b]는 uncountable set이다!

 

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그러므로, 우리가 보일 것은 Cantor Set이 Perfect set임을 보이기만 하면 된다.

 

1-1. Cantor set is perfect.

 

(증명)

만약에 Cantor set C에 isolated point x가 존재한다고 하자. 그러면, x를 포함한, C와 겹치지 않는 open segment(open ball) S를 잡을 수 있을 것이다. 이 때, n이 충분히 크면, 위에서 본 I_n의 조각이 S에 포함이 된다. 이 I_n의 조각의 끝점을 x_n이라고 하면, x_n은 C에 포함 되므로, C와 겹치지 않는다는 가정에 모순이다. 그러므로, C의 isolated point는 존재하지 않는다.

 

 

1-2. Cantor set is uncountable

-> Cantor set의 그림에서, Cantor set은 거의 보이지 않을 정도이지만, uncountable set이다!!!

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2. Cantor set은 어떤 segment (a,b)도 포함할 수 없다.

-> compact set은 뭔가 뭉쳐있고, 그래서 연속체로 보이나, 아닐 수도 있다는 것을 보여준다....

 

(증명)

Cantor set을 만들 때, 빠지는 부분들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그런데, 그냥 아무 segment를 다음과 같이 잡았을 때...

즉, 아무 segment를 잡았을 때, m을 꽤 크게 잡으면, 위의 빠지는 부분이 segment에 들어가므로, Cantor set에서는 어느 segment (a,b)도 포함할 수 없다는 것을 보여준다.

 

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3. Cantor set과 (1이 빠진 3진수의 [0,1])와 대응할 수 있다!

맨 위의 그림에서 3등분할 때, 각각 0, 1, 2로 대응한다면 다음처럼 생각할 수 있다.

그러므로, [0,1]을 3진수로 나타내었을 때, 1이 빠진 것들의 길이는 almost 0이다...

-> 10진수인 경우에도 뭐 하나가 빠지면 길이가 거의 0으로 된다.

 

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이번에는 Connected Set에 대해서 알아보자. 정의는 다음과 같다.

 

(Connected Set)

그러니까, 연결집합이란, A를 어떻게 쪼개도 two separated set이 나오지 않는 set을 뜻한다.

정의가 부정으로 되어 있어서 생소할 수도 있지만, 증명에서 사용할 땐 대우로 not을 처리하면 편하다.

 

왜인지 Connected Set이라고 하면, 연속함수가 생각나긴 하는데, 이는 나중에 연속함수 파트에서 살펴보고, 일단 위상적 성질부터 살펴보자.

 

(Connected Set -> Intermediate Value Theorem(중간값정리)???)

마치 실수축에서 중간값정리처럼 보인다. 사실, 연속함수가 connectivity(연결성)을 보존하므로, 후에 중간값정리가 성립한다.

 

(증명)

1. -> 

대우를 이용하자

2. <-

이번에도 대우를 이용하자

물론, X와 Y를 open ball로 잡는건 문제가 있겠지만, 혹시나 이해가 안되는 사람들을 위해서 그림을 첨부한다.

z를 잡을 때, supremum을 이용해서 잡는데, z는 [x,y]의 교집합에서 잡으니 당연히 x 이상, y 이하일 것이다.

그런데, z=y인 경우에 supremum의 정의에 의해서, y가 X의 limit point가 되어야 한다. 그러나, 이는 separated set의 정의에 모순이므로, z는 x이상 y미만이 된다. x,y는 임의로 잡았으므로, z는 Y에 있지 않다.

만일, z가 X에 없다면(그림의 z1), z는 X,Y에 둘 다 없으므로 A에 없다.

만일, z가 X에 존재한다면(그림의 z2), z는 Y의 closure에 존재하지 않는다. -> Y의 closure의 여집합은 open set이므로, Y의 closure와 겹치지 않는 open ball을 잡을 수 있을 것이다. -> z<z'<y인 z'를 잡을 수 있다.

그런데, z가 supremum이므로, 이 z'는 X와 [x,y]의 교집합에 있을 수 없다. 즉, X에 있을 수 없다. 

z'는 X와 Y에 존재하지 못하므로, A에 없다.

 

그러므로 결론적으로 언제나, x<z<y를 만족하지만 z가 A에 없는 경우가 생긴다.

 

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여기까지 기본적인 집합에 관한 내용들과 Topology에 관한 내용들(Open, Closed, Perfect, Compact, Connected....)을 다뤘다.

 

아마 처음 봤을 때, 많이 어려웠을 수도 있고, 증명이 익숙치 않아서 지금도 많이 어려울 수 있다. 그러나 이런 증명방식 자체는 많이 쓰기 때문에 알아두면 좋다. 물론 연습문제 같은 것도 많이 해보면 익숙해지면서 이해하기 편해진다...

 

다음 챕터부터는 드디어 수열로 넘어가서 극한에 대한 내용을 다룰 것이다. 여태까지 배운걸 어떻게 써먹는지 알 수 있을 것이다.

 

혹시나... 미적분학을 안 보고 왔다면, 미적분학 내용을 한번 보면서 대충 이런게 있구나... 하면서 해석학 내용을 보면, 물론 어렵긴 하겠지만 증명부분에서 찝찝한 것은 없어질 거라고 생각한다!