(해석학) 3-2. Compact set의 중요한 성질들 (축소구간정리, 하이네-보렐 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리)

이번에는 저번 챕터에서 배운 compact set을 이용해서, 아주 중요한 정리들

-> Nested Interval Theorem(축소 구간 정리), Heine-Borel(하이네-보렐 정리), Bolzano-Weierstrass Theorem(볼차노-바이어슈트라스 정리)

을 살펴본다.

 

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1. Nested Interval Theorem(축소구간정리)

즉, compact set의 모음집인 {K_a}가 있는데, 이 {K_a}의 유한개 원소들로 교집합을 만들었을 때, 언제나 공집합이 아니면(non-empty), K_a로 만든 무한개의 교집합 또한 non-empty이다.

 

(증명)

compact set들 중 하나를 잡아서(K1) K1의 open cover를 G_alpha로 잡는다. 이 때, G_alpha를 어떻게 잡아도 K1을 못 덮는다고 하면, 그 점이 모든 K_alpha에 포함되므로, 모순이 되어, K1을 언제나 덮을 수 있다. 그러면, compact 정의에 의해서, 유한개로 덮이는데, 이를 이용하면, K의 유한개 원소로 이루어진 교집합이 empty가 되는데 이는 주어진 조건에 모순이다. 그러므로, 증명이 완료된다.

 

(Corollary)

위에서 저 성질을 만족하는 compact set의 collection은 다음과 같이 잡을 수 있다.

즉, 서서히 줄어드는 compact set에 대해서, 무한개의 원소로 이루어진 교집합은 empty가 아니다!

다음 그림에서, 무한대로 가면 중첩되는 부분에 원소가 존재한다.

 

여기서 닫힌 유계 구간이 compact라는 것을 보이기 위해 다음 Lemma를 잠시 설명한다.

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(Lemma) 

(아직, 닫힌 유계구간(k-cell)이 compact인지는 모른다!)

 

(증명)

k=1일 때 증명을 하고, k>1인 경우는 1을 이용해서 각 원소별로 증명하면 된다.

여기서 주목해야 할 것은 바로 실수의 LUB 성질만을 이용했다는 것이다.

즉, 실수의 완비성과 축소구간정리가 동치라는 것을 말해준다. 나중에 보면 알겠지만, 단조증가/감소 수열의 수렴성도 이와 동치이다.

 

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자, 드디어 닫힌 유계 구간은 compact set이라는 것을 보이자.

 

(Interval and Compact)

모든 k-cell은 compact이다.

(증명)

k-cell I가 compact가 아니라고 가정하자. 그러면, 어떤 open cover {G_alpha}에서는 I를 finite개수로 덮을 수 없을 것이다.

 

만일, k=2인 경우에서 -> x=[a,b], y=[c,d] 인 경우에서, k-cell을 4개로 쪼개보자. (b-a=d-c=l)

그러면, 4개로 쪼개진 k-cell에서 적어도 1개는 finite 개수로 덮을 수 없다. (즉, infinite 개수로 덮인다...) 이 중 1개의 k-cell을 I_1이라고 하자.

그렇다면, I_1을 또 4개로 쪼개면, 또 똑같이 적어도 1개는 finite 개수로 덮을 수 없다. 이 중 1개를 I_2라고 하자.....-> 반복...

그렇다면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

만일, I_n에서 두 점을 잡으면, 다음 조건을 만족해야 한다.

이 때, 축소구간정리에 따라서,

임을 알고 있다. 그러면,

그러므로, k-cell은 compact여야 한다.

k=1,2,3... 모든 경우 동일하게 적용할 수 있으므로, 모든 k-cell은 compact이다.

 

그러므로

(Corollary)

실수축에서 닫힌 유계 구간은 compact이다.

 

거의 compact set의 대표를 닫힌 유계 구간 [a,b]으로 볼 정도로 중요한 정리니 꼭 알아두자!

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2. (Heine-Borel)(하이네-보렐 정리)

하이네-보렐 정리는 위에 나온 정리들을 Euclidean Space에서 종합해서 정리해놓은 것이다.

(NOTE) 위의 k-cell과 관련된 성질 빼고는 다 일반적인 Metric Space에서도 다 성립했던 것이다!

 

Heine-Borel Theorem은 다음 성질들이 모두 동치라는 것이다.

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(증명)

1->2

E가 closed이고 bounded이면, E는 어떤 k-cell I에 포함된다.

I는 compact set이므로, closed subset E는 앞 챕터에서 본 성질에 의해 compact이다.

 

2->3

다음을 보이면 된다. (이 명제가 3번을 해석한 것임)

만일 compact set K의 부분집합 A가 무한집합이라면, A는 limit point가 존재하고, K에 있다.

(증명)

만일, K가 A의 limit point를 가지고 있지 않다고 하자. 그러면, K의 모든 점은 A의 isolated point이므로, 각 점에서 open ball을 뽑는데 이 open ball은 기껏해야 1개의 A의 원소를 가지고 있을 것이다. (점이 A에 속하면, A의 원소 1개를 가짐 / 점이 A에 속하지 않으면, A의 원소 0개를 가짐)

이 때, 이 open ball들의 collection은 K의 open cover이므로, 유한개의 open ball로 K를 덮을 수 있다. 그러면, A의 원소가 기껏해야 유한개가 된다는 것이므로 모순이다. 그러므로, K에서 A의 limit point를 가진다.

 

3->1

대우를 이용해서 증명하자.

a. 만일 E가 bounded가 아니라면....

b. 만일 E가 closed가 아니라면....

 

 

위의 내용을 정리해보면,

1->2번을 증명할 때, k-cell의 성질을 썼기 때문에, 1,2,3 중에서 Euclidean Space에서만 성립하는 것은 1번이다.

아쉽게도 가장 심플한 건 일반적인 metric space에서는 성립하지 않게 된다...

하지만, 우리가 대부분 다룰 건 Euclidean Space이기 때문에, 일단 크게 걱정하지 않아도 된다.

 

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3. (Bolzano-Weierstrass Theorem)(볼차노-바이어슈트라스 정리)

Euclidean Space에서 유계이고 무한집합이면, limit point를 적어도 하나 갖는다.

 

사실, 볼차노-바이어슈트라스 정리는 위의 내용들을 Euclidean Space에서 간추린 것에 불과하다.

 

(증명)

주어진 집합을 E라고 하면, 유계이므로 어떤 k-cell I에 포함된다. 이 때, I는 compact이고, E는 compact 집합의 무한 부분집합이다. 그러므로 하이네-보렐 정리(2->3)에 의해서 E는 limit point를 적어도 하나 갖게 된다.

 

이 말은, Euclidean space에 아래와 같은 k-cell이 존재할 때, 미친듯이 점을 무한개로 찍다보면, 어디 한군데는 몰리는 점(극점)이 존재하게 된다는 말이다. 나중에 수열을 다룰 때, 유용하게 써먹을 예정이다.

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여기까지, compact set에 관련된 정리들을 살펴보았다.

 

정리하면

1. 축소구간정리 자체는 일반적인 metric space에서의 compact성과 관련이 되어있는 정리지만, k-cell이 compact하다는 것을 증명하기 위해서 실수의 완비성(lub 성질)을 이용하였다.
2. k-cell이 compact하다는 것을 이용해서 Euclidean Space에서 하이네-보렐 정리와 볼차노-바이어슈트라스 정리를 얻었다.

결론은 k-cell이 compact하다는 것 -> 유계 닫힌 집합이라는 것이 거의 메인 급으로 중요하고, 무한 유계 집합이 limit point를 가진다는 내용도 아주 중요한 내용이다.

 

일단, 여기서 compact set과 관련된 정리는 마무리하고,

다음시간엔, Cantor Set에 관한 이야기를 해보도록 한다.