(해석학) 4-1. 지금까지 한 걸 수열에 적용해보자구 (Convergence of Sequence)

(미적분학 참고링크)

 

(미적분학) 1. 왜 미적분하는데 수열과 급수를 배우는거지? (입실론-델타 논법) : https://0418cshyun.tistory.com/3

(미적분학) 1. 왜 미적분하는데 수열과 급수를 배우는거지? (입실론-델타 논법)

 

이번 챕터에서는 이제까지 배웠던 set, topology 내용들을 수열에 적용시켜볼 것이다.

 

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먼저, 수열(Sequence)의 정의는 앞에서 잠깐 나왔던 것처럼,

 

(Sequence(수열))

자연수집합을 정의역으로 갖는 함수. 즉, 다음을 그냥 수열이라고 부른다.

(Convergence of Sequence(수열의 수렴))

이미, 다 알고 있는 내용들이지만, 여기서 하나 체크하고 넘어가야 할 건, 수렴하는 x가 X에 존재해야 한다는 것이다.

예를 들어서

 

또한, x_n이 수렴하지 않으면 발산(diverge)한다고 한다.

 

(NOTE) -> 증명할 때 따로 언급하지 않을 거에요!

위에서 

이렇게 바뀌어도 전혀 상관이 없다. 만일, "epsilon보다 작거나 같다" 로 바뀌면, 그것보다 아주 약간 작은 epsilon1을 다시 잡으면 "epsilon1보다 작거나 같다" ->"epsilon보다 작다" 조건을 만족시킬 수 있기 때문이다.

같은 논리로

상수배 붙인 걸로 바뀌어도 전혀 상관이 없다.

만일 m*epsilon으로 바뀌면 다시 epsilon을 잡을 때, (epsilon/m)으로 잡으면 똑같이 epsilon보다 작다라는 표현을 만족시킬 수 있기 때문이다.

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(Convergence and Limit Point)

수렴의 정의를 보면 뭔가 limit point의 정의와 부합하는 느낌이 들 것이다.

일단, {x_n}이 x에 수렴하면, x는 {x_n}의 limit point임은 자명하다. 왜냐하면, 어떤 반지름으로 open ball을 잡아도, 그 안에 {x_n}의 원소가 있기 때문이다.

그런데, x가 {x_n}의 limit point라고 해서, {x_n}이 x에 수렴하지는 않는다.

예를 들어서,

왜냐하면, 수렴성 정의에선, 어떤 n보다 크면 open ball에 다 들어가야 한다는, 즉, 겹치는 원소에 대한 제약이 있는 반면,

limit point는 그런 n에 대한 제약이 없기 때문이다.

 

굳이 따지자면, 다음 그림처럼 표현할 수 있을 것이다.

또한, limit point와 수렴성을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

1. LIMIT POINT

Limit point를 그림으로 묘사하면....

2. Convergence of Seq

x_20까지 그려졌을 때, 수렴성에 관한 그림

이 경우에, 주어진 epsilon은 원의 반지름이 될 것이고, n>=12=N이면, 주어진 open ball에 다 들어간다...(물론 20개만 표현하였지만) 모든 epsilon에 대해서, 이런 N이 있다면, 수렴할 것이다...

 

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위에 나온 얘기에서 조금 더 들어가면 다음과 같은 성질을 얻는다.

1. (Uniqueness of Convergence)

만일, 수열 {x_n}이 x와 x'로 수렴한다면, x=x'이다.

즉, 주어진 수열에서 수렴하는 point는 기껏해야 1개이다.

2. (Bounded Sequence)

만일, 수열 {x_n}이 수렴한다면, {x_n}은 유계이다.(bounded)

3. (Existence of Convergent Sequence from a limit point)

만일 x가 A의 limit point라면, x로 수렴하는 {x_n}을 A에서 잡을 수 있다.

-> 앞에서 본 limit point와 convergence 관계의 역이다!!!

 

(증명)

1.

위에서 epsilon을 아무거나 잡아도, 주어진 x,x'의 거리는 2epsilon보다 작아야 하므로, 거리는 0이 될 수밖에 없다.

 

2.

{x_n}이 x로 수렴한다고 하면(x는 unique!), 어떻게 반지름을 잡아도, infinite 개수의 항이 open ball에 들어가게 된다.

그러므로, open ball 밖에 남아있는건, finite 개수의 항밖에 없고, 그 finite 개수 항 중, x에서 가장 먼 항을 x'라고 잡으면, {x_n}은 중심이 x이고, 반지름이 d(x,x')인 open ball에 다 들어간다. 그러므로, {x_n}은 유계이다.

-> compact set의 예시를 생각해보자!

 

3.

x로 수렴하는 {x_n}을 A에서 한번 구성해보자!

일단, A가 limit point x를 가지므로, A는 infinite set이다.

그러면 중심이 x이고 반지름이 1인 open ball에서 A의 원소를 하나 잡아서 x_1이라고 하자. (단, x는 제외)

또, 반지름이 1/2인 open ball에서 A의 원소를 또 잡아서 x_2라고 하자... -> 반복....

그러면, 이렇게 구성된 {x_n}이 x로 수렴하는지 보자.

그러므로, {x_n}은 x로 수렴한다.

 

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위에서 수렴하는 수열이 유계이고, 또 수렴성과 limit point가 연관이 되어있다는 것을 생각하면,

하이네-보렐 정리에 따라서, 닫힌 유계집합 -> compact set이 연관이 되어 있다는 것을 생각해볼 수 있다. (물론, Euclidean Space에서...)

이 논의를 하기 위해서 subsequence(부분수열)에 관해서 잠시 알아보자.

 

(Subsequence(부분수열))

즉, subsequence는 주어진 수열에서 순서에 맞추어 하나씩 임의로 뽑아서 만든 수열이라고 생각하면 된다.

 

그렇다면, 다음 성질은 당연하게 성립한다.

증명은 워낙에 trivial해서, 생략한다.

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그럼 여기서 compact set과 어떤 관련이 있는지 살펴보자.

1. (Compact set and Convergence of Subseq)

만약 {x_n}이 compact metric space X에서 정의되어 있다면, X의 point에 수렴하는 부분수열{x_nk}를 잡을 수 있다.

2. (Bounded and Convergence of Subseq)

유클리드 공간의 모든 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.

3. (Closed set and Convergence of Subseq)

만약 {x_n}이 metric space X에서 정의되어 있고, 부분수열의 수렴값들로 이루어진 set을 A라고 한다면,

A는 X의 closed subset이다.

 

(증명)

1.

2. 유클리드 공간의 유계인 수열은 k-cell(compact set)로 덮일 수 있으므로 1에 의해 수렴하는 부분수열을 가진다.

3. 

 

보충해서 설명하자면, 1번의 경우 limit point가 없다면, 당연히 A는 closed set이고,

2번의 경우, limit point가 x라고 하면, 원래 수열에서 x가 아닌 원소 하나(x_n1)를 가져온다.

이 때, x는 A의 limit point라서, 근처에 A의 원소 y를 가지고 있다.

또한, y는 부분수열의 수렴값이니, 그 부분수열에서 x_n2를 위의 조건에 맞게 고를 수 있다.

그럼, metric의 성질에 의해서 x와 x_n2의 거리가 x와 x_n1의 거리의 반보다 작다는 것을 알 수 있다.

이를 반복하면서 x_n3, x_n4,....를 구해서 부분수열을 만든다.

이 부분수열이 x에 수렴하므로, x는 A의 원소이다. -> closed set이다.

 

 

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여기까지, 수열의 수렴성과 위상적 성질을 일차적으로 알아보았다.

 

사실, 정의를 제외하고, 이 성질들을 잘 쓴다기 보단, 후에 증명에서 이런 성질들을 약간씩 꺼내 써야 하기도 하고, 증명방법을 알아두면 편하기 때문에 본다고 생각하면 된다.

앞에서 open/close/compact 등의 성질을 잘 이해한다면, 오히려 이 부분이 직관적으로 느껴질 수도 있긴 하다.

 

다음에는 중요한 Cauchy Sequence에 대한 내용과 이에 관련된 실수의 완비성에 관한 내용을 다룰 것이다.