(미적분학) 2-1. 입실론-델타논법으로 수렴성 증명은 귀찮아 (Comparison Test, Ratio Test, Root Test, Integral Test)

(해석학 참고링크)

-최소상계/최대하계(sup, inf)-

(해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까? (What is Real Number?) : https://0418cshyun.tistory.com/14

(해석학) 1-1. 도대체 뭐가 문제라 증명을 못했을까? (What is Real Number?)

-단조수렴정리-

(해석학) 4-3. 단조수렴정리와 수열의 수렴값 찾기 (Convergence of Monotonic Sequence) : https://0418cshyun.tistory.com/53

(해석학) 4-3. 단조수렴정리와 수열의 수렴값 찾기 (Convergence of Monotonic Sequence)

-급수의 수렴성 테스트-

(해석학) 5-1. 급수부턴 수월함.... (Convergence of Series 1) : https://0418cshyun.tistory.com/54

(해석학) 5-1. 급수부턴 수월함.... (Convergence of Series 1)

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일단 앞에서 먼저 짚고 넘어가야 할 사항은, 대부분의 경우

"주어진 수열이 어떤 값에 수렴을 하는가?" 보다는 "이 수열이 수렴을 하긴 하는가??" 에 더 초점을 맞춘다는 것이다.

사실, 어떤 값에 수렴을 하는가는 대부분 수렴하는 간단한 수열들의 사칙연산을 통해서 구하는 것이 훨씬 더 효율적이기도 하고 (고등학교 문제 푸는것처럼) 정 모르면 그래프 개형보고 대충 이 값에 수렴을 할 거 같다는 추측을 할 수도 있다. 다만, 이 때는 진짜로 그 값에 수렴을 하는지 수렴성을 체크하긴 해야 한다.

 

어쨌든 전 챕터에서는 입실론-델타 논법으로 수열/급수의 수렴을 정의했다. 그러나 이를 이용하여 수렴성을 체크하는거는 상당히 귀찮은 작업이었으므로 이를 빠르게 체크할 수 있는 여러 방법들을 소개한다.

(여기 나온 대부분의 Test는 실수의 기본성질을 이용하기도 하고 간단한 Topology를 요구하는데 이는 범위를 넘어가므로 정확한 정리는 해석학 파트를 참고하자)

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(Note) ★아주 잘 쓰는 수열의 수렴성 (단조증가/감소, 유계)

1. 단조증가(Monotonically increasing), 위로 유계(bounded above) 인 수열은 수렴한다.

2. 단조감소(Monotonically decreasing), 아래로 유계(bounded below) 인 수열은 수렴한다.

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여기서 위로 유계, 아래로 유계라는 용어가 등장하는데

위로 유계라는건 양의 무한대로 값이 치솟지 않을 때, 아래로 유계라는건 음의 무한대로 값이 떨어지지 않을 때를 말한다.

즉, 위로 유계를 수학적으로 정의하자면

아래로 유계도 같은 방식으로 정의할 수 있다.

위로 유계이고, 아래로 유계이면 이 수열은 유계(bounded)라고 하고 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 헷갈리지 말아야 할건, 저 성질을 만족하는 M이 존재한다는 건 M의 값을 특정할 수 있어야 한다는 것이다.

 

(증명)

1의 경우를 생각해보자

단조증가이고 위로 유계라는건 다음과 같은 성질을 만족한다는 것이다.

여기서 M은 저 성질을 만족하는 것들 중 최소라고 하자(정확히는 Least Upper bound(최소상계), 해석학 참고)

그러면 다음과 같은 성질을 만족한다.

수열 {b_n}이 0으로 수렴하지 않는다고 가정해보자.

그러면

(입실론-델타 논법의 부정)

입실론-델타 논법이 익숙하지 않다면 부정을 만드는 것이 어색할 수 있는데, 입실론-델타 논법을 잘 생각해서 부정을 만들면 다음과 같이 표현할 수 있다.

(입실론-델타) 모든 epsilon에 대해서 N보다 큰 모든 n에 대해서(연속적) a_n과 b의 거리가 epsilon보다 작다. (부정) 어떤 epsilon에 대해서 꽤 큰 n에 대해서 a_n과 b의 거리가 epsilon보다 큰 경우가 생긴다.            -> 즉, n이 커지는 동안에 거리가 epsilon보다 크게 튀는 경우가 계속해서(연속적일 필요는 없음) 생긴다.

어쨌든, 저 부정에서 보이는 epsilon을 생각해보자.

그럼 다음과 같이 생각할 수 있다.

여기서 만족하는 n은 n이 커질수록 계속 나온다고 할 수 있기 때문에 결국엔

을 만족하게 된다. 그러나 우리는 M을 잡을 때 위 성질을 만족하는 최소(최소상계)로 잡았는데, 더 작은것이 나왔으므로 모순이다. 그러므로 {b_n}이 0으로 수렴한다.(2. 증명) 또한, {a_n}도 M으로 수렴하는 것을 알 수 있다.(1.증명)

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이 정리는 대부분의 단조수열에서 거의 매번 쓰이기 때문에 매우 중요하다!

 

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1. 급수를 이용한 수열의 일반항 수렴성 판정(일반항 판정법)(Term Test)

이 판정법은 고등학교 수학책에도 등장하기 때문에 자세한 설명은 생략한다.

(증명)

(Note) 만일 대우를 이용한다면  만 이용하면 안되고, 수열이 발산하는 경우까지 생각해줘야 한다

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2. ★(Comparison Test for Convergence of Series)

정확한 증명과 설명은 해석학에서...(코시 수열을 이용함)

 

간략히 설명하면 꽤 큰 n에 대해서 a_n과 b_n이 계속 저 대소관계를 유지한다면 1,2를 만족한다는 것이다.

즉, 큰 수열이 수렴하면 그보다 작은 수열 또한 수렴한다는 것이고,

작은 수열이 발산한다면 그보다 큰 수열 또한 발산한다는 것이므로 사실 Test 자체는 직관적이다.

 

또한, 아래에서 다른 판정법을 소개하기는 하지만 결국에는 이 Comparison Test에서 파생된 것이고, 결국엔 이 Comparison Test가 가장 많이 쓰이게 된다. (Most Important!)

 

ex) 

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3. (Root Test for Convergence of Series)

(단, a_n은 모든 자연수 n에 대해서 양수(Root 써야 하므로))

정확한 증명과 설명은 해석학에서...(supremum, infimum 개념 필요)

(증명)

(설명)

1.  root가 b로 수렴을 하므로 수열에서 그대로 사칙연산(곱)을 사용할 수 있다. 이를 이용해 일반항 판정법으로 발산임을 증명한다.

 

2. 1과 같은 방법을 사용하면 일반항 판정법을 사용할 수 없다.(Since, 일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다.)

그래서 입실론-델타 논법을 사용하였는데 4번째 줄에서 epsilon이 임의적이므로 (어떤 값>0 을 넣어도 성립해야 하므로) 저런식으로 epsilon을 무시할 수 있다.

또한, 급수를 위 방식대로 유한개수항 부분합(A)과 무한개수항 부분합으로 나누는 방법을 사용하였는데, 어차피 유한개수항은 수열이 bounded이면 어차피 수렴성과는 관련없고, 무한개수항은 입실론-델타논법으로 다룰 수 있다.

이러한 방식은 해석학에서 증명할 때 아주 많이 사용하므로 한번 체크해주면 좋다.

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Root Test는 일반항이 root를 사용하기 좋을 때 사용한다.

즉, root가 수렴하고, 그 값이 1보다 크면 발산, 1보다 작으면 수렴한다.

이 또한 꽤 직관적으로 보인다. (곱이니까 왠지 그럴거 같은 기분)

여기서 눈여겨볼것은 b=1인 경우인데,  b=1인 경우는 이거 가지고 수렴성을 판단할 수 없다! (수렴할수도 있고, 발산할수도 있다.)

 

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4. (Ratio Test for Convergence of Series)

(단, a_n은 모든 자연수 n에 대해서 양수(이는 뒤에 나올 교대급수나 해석학에서 제대로 다루면 해결 가능하다.))

 

(증명) 해석학 카테고리 참고

 

Ratio Test는 일반항이 나누기 좋게 보일 때 사용하면 좋다. 이 또한 꽤 직관적으로 보인다.

이 경우에도 마찬가지로 b=1인 경우는 수렴성을 판단할 수 없다.

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5. (Integral Test for Convergence of Series)

(증명)

고등학교 때 사용하던 구분구적법처럼 생각하면 간단하다. 그렇게 해도 논리에서 벗어나지 않으므로...

사실 적분을 할 수 있다면 가장 간단한 방법의 Test이지만, 이미 적분을 할 수 있는 상태라면 그렇게 어려운 형태의 수열이나 급수가 아니라 이를 통하지 않고도 구할 수도 있다.

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사실 이 자체가 증명을 요구하는 일은 거의 없고, 판정법을 잘 사용할 수만 있다면 괜찮다.

여기까지 모두 각 항이 양수일 때만 확인하였는데, 그렇다면 각 항에 음수가 들어간다면 어떻게 할까?

다음 챕터에서 확인해보자