(미적분학) 8. 내적이 있으니까 외적도 있겠지... 로피탈보다 오히려 더 중요하고 써먹을 수 있는 외적 (Outer Product)

이번에는 3차원 문제에 활용되는 벡터의 외적(Outer Product)에 대해서 알아보자.

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이번에도 외적의 정의부터 살펴보자.

 

(Outer Product)

(성질)

1. (Commutative)

2. (Linearity 1)

3. (Linearity 2)

4. (inner product)

5. (norm)

각 성질들의 증명은 앞 챕터에서 보았던 determinant의 성질들을 생각하면 금방 유도할 수 있다.

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간단한 성질들 말고, 진짜로 중요한 성질들을 보도록 하자.

(Direction of Outer Product(외적의 방향))

즉, 외적은 주어진 두 벡터와 수직이다.

증명은 위에서 본 4번 성질을 이용하고 determinant 성질을 이용하면 된다.

 

이는 평면의 방정식을 유도할 때, 아주 유용하게 사용된다.

평면 위에 두 벡터를 잡고, 외적을 통해 수직벡터(normal vector)를 곧바로 구할 수 있기 때문이다.

그러므로 a, b는 평면 위에 있는 방향벡터, c는 평면 위의 한 점이라고 하면 평면의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

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(Norm of Outer Product(외적의 크기))

증명은 5번 성질을 이용하면 바로 유도 가능하다.

이 성질을 잘 들여다보면, 벡터 a,b로 이루어진 평행사변형의 크기와 외적의 크기가 같다는 사실을 알 수 있다.

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이번 챕터에서는 간략히 외적에 대한 성질들을 들여다 보았는데, 잘 이용하면 고등학교 벡터 수준(특히 평면의 방정식을 이용할 경우)에서도 잘 이용할 수 있고, 물리학 같은 곳에서도 아주 많이 사용하므로 외적은 꼭 기억하기를 바란다.