(선형대수학) 12-2. Eigenvalue Problem of Complex Matrix

이번 챕터에서는 지난 시간에 본 Complex Matrix들의 Eigenvalue들이 어떠한 특징을 가지고 있는지 살펴보자.

 

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1. Hermitian

=> 결론만 말하자면, 모든 Eigenvalue가 실수가 나온다! (Real Eigenvalue)

 

이를 증명하기 위해서 먼저 다음 성질을 살펴보자.

 

중요!! (Lemma)

즉, A가 에르미트 행렬이면, 위처럼 계산한 "숫자"가 실수가 튀어나온다!

 

(증명)

실수는 Conjugate한 것과 원래가 동일하고, 1 by 1 행렬처럼 생각해볼 수 있다는 점을 이용하자!

=> 실수를 에르미트연산(Conjugate Transpose)한 것은 그냥 자기 자신이 나올 것이다! 이 점을 이용해보자.

그러면 우리에게 주어진 저 숫자 x^HAx를 에르미트 연산을 해보면...

-> 자기 자신이 나온다!

=> 주어진 숫자는 "실수"이다!

 

ex)

 

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그러면, Eigenvalue Problem으로 돌아가서 실수 eigenvalue를 갖는다는 것을 증명해보자!

그러므로 Hermitian의 Eigenvalue는 항상 "실수"인 것을 알 수 있다!

 

(NOTE)

1. 실수 행렬에서는 Hermitian과 Symmetric이 같으므로, "실수" 대칭행렬은 실수 Eigenvalue를 갖는다.

(복소수 대칭행렬은 아니다!!!)

2. 또한, 실수행렬에서 증명할 때, eigenvector가 복소수가 나올 수도 있으므로, 언제나 "Hermitian"을 가지고 증명해야 한다.

 

게다가 Eigenvalue Problem에서 다음 성질도 알 수 있다...

=> A가 Hermitian이면 다른 Eigenvalue에서 온 Eigenvector들이 Orthogonal하다.

그러므로 Hermitian Matrix를 Diagonalization하면 다음처럼 정리할 수 있다!!!

실수행렬에서도 마찬가지로...

=> 실수 대칭행렬을 Diagonalization하면

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위의 내용을 조금 더 생각해보면....

=> Eigenvalue의 분모부분이 항상 Norm>0 으로 나오므로, x^HAx에 따라서 Eigenvalue의 성질도 결정할 수 있다!

=> 특히, 뒤에 나올 Positive Definite Matrix와 밀접하게 연관된다!

 

(Positive Definite Matrix)

 

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2. Skew-Hermitian

=> 결론만 말하자면, 모든 Eigenvalue가 순허수가 나온다! (Pure Imaginary Eigenvalue)

 

위의 증명 그대로 따라가면 증명은 어렵지 않지만, 사실 다음 성질 하나만 생각해보면 된다.

(Lemma)

(증명)

이 성질을 생각해보면 Diagonalization을 할 때, 결국 Eigenvalue Matrix에 i 하나만 곱해주면 된다는 말과 동일하다! (Eigenvector Matrix는 그대로 있을 것이다.)

=> 1. (A가 Hermitian이면 모든 Eigenvalue가 실수) -> (A가 Skew-Hermitian이면 모든 Eigenvalue가 순허수)

=> 2. (A가 Hermitian이면 다른 Eigenvalue에서 온 Eigenvector들이 Orthogonal하다.) -> (A가 Skew-Hermitian이면 다른 Eigenvalue에서 온 Eigenvector들이 Orthogonal하다.)

 

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3. Unitary Matrix

유니터리 행렬의 경우에는 다음 성질을 이용하는데, 아주 중요한 성질 중 하나이다.

 

(Preservation of Length, Inner Product)

유니터리 행렬 U를 통해 Mapping된 벡터의

1. Norm은 원래의 Norm과 같다!

2. 내적도 원래의 내적과 같다!

 

즉, 행렬을 Linear Mapping으로 본다면, Mapping 전과 후의 길이가 동일하고, 벡터 사이의 각도도 동일하다.

=> 좌표계 변환으로 본다면 부피변화가 없는, 그리고 각도변화가 없는 아주 이상적인 결과이다!

 

(증명)

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Eigenvalue를 계산해보면... => Eigenvalue의 절댓값이 항상 1이다!

Norm 변화가 없다는 것을 이용하면 된다.

또한, Eigenvector도 계산해보면 => 다른 Eigenvalue에서 온 Eigenvector들이 Orthonormal하다. (Orthogonal & Norm이 1)

내적변화가 없다는 것을 이용하면 된다.

그러므로 이 경우도 Diagonalization을 하면,

(NOTE)

1. 실수 행렬에서는 Unitary와 Orthogonal Matrix가 같으므로, "실수 Orthogonal Matrix"는 Eigenvalue의 절댓값=1

2. 실수 Orthogonal Matrix도 Norm과 내적이 보존된다!

 

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다음 챕터에서는 이를 이용한 좌표계 변환문제에 대해서 조금 더 살펴본다.