(선형대수학) 13-1. Similarity Transformation, Change of Basis

이번시간에는 Similarity Transformation과 좌표계 변환에 대한 이야기를 하려고 한다.

 

Jordan Form을 소개할 때(11-4 참고!) 마지막에 Similar Matrix라는 용어를 소개하고 끝냈었다!

왜 Similar(비슷한) 이라는 용어가 붙었는지 알기 위해서 한번 A, B의 Eigenvalue Problem을 풀어보자.

즉, Similar Matrix끼리는 같은 Eigenvalue를 가지고, eigenvector 사이에도 P에 의한 변환만 존재한다는 것을 알 수 있다.

 

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그러면, 이 Similar Matrix와 좌표계 변환 사이에는 어떤 관계가 있을까??

 

1. 행렬 그 자체는 "선형변환(Linear Transformation)"이라고 했었고, 앞에서도 계속 언급했듯이 좌표계 변환과 관련이 있다고 했었다. 그런데, "1. 어느 좌표계"에서 "2. 어느 좌표계"로 변환하는 것이었을까??

즉, 행렬(선형변환) A => Standard Basis(가장 심플한 Basis)를 A의 Column Space로 옮겨버리는 변환이라고 생각할 수 있다.

 

그런데 꼭 standard Basis에서 출발할 필요가 있을까??

"일반적인 Basis"의 경우를 한번 생각해보자.

즉, 어느 Basis를 잡던지

A에 의해서 Basis를 A에 의해서 변환시키면 되고, 이 때, x_1,x_2,..,x_n의 값은 변화하지 않는 것을 볼 수 있다.

 

즉, A에 의한 변환은 해석을 2가지로 할 수 있다.

1. Basis를 그대로 두고, "값"의 변화

2. 값은 그대로, "Basis"의 변화!

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2. Diagonalization의 경우를 살펴보자.

이번에는 Basis 말고 Eigenvector들을 변환시킨다고 생각해보자.

 

그러면, Eigenvector의 방향은 유지하고, Eigenvalue만큼의 길이 변화를 하게 된다!

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3. Similar Matrix는 그러면 어떤 좌표계 변환을 말하는 것일까??

 

(a) A에 의한 Basis 변화를 생각해보자...

그런데 저 변환된 Basis인 Av 역시 기존의 Basis v로 표현이 가능하다.

 

(b) P에 의한 Basis 변화를 생각해보자...

이 때, ....AP로 식이 나와있으므로, P에 의한 Basis 변환으로 나오게 된 (결과 Basis)는 v라고 하자.

근데, P가 Invertible하므로, 모든 V는 Basis v에 의해서 표현가능하다. (역도 동일)

즉, 다음과 같이 표현가능하다.

 

(c) 그러면, 결과적으로 보았을 때, 다음처럼 생각해볼 수 있다.

즉, A,B는 "같은 Transformation"이지만, 다른 Basis로 표현이 되어있는 것이고

P는 이를 연결해주는 Basis 변환 matrix라고 생각할 수 있다!!

 

식으로 살펴보면 조금 더 명확해진다.

한번 벡터 x를 변환시켜보자!

즉, 변환하는 matrix가 "원소"에 붙는지, "Basis"에 붙는지에 따라서 해석을 달리 할 수 있다!!

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Similar Matrix의 좌표계 변환과 Eigenvalue, Eigenvector에 대한 성질을 종합해서 정리해보면

 

=> 1. A, B의 Eigenvalue가 동일 : A와 B의 변환이 동일하다!! (Basis 표현은 모르지만...)

(위의 Diagonalization의 논의를 생각한다면 -> Eigenvector방향으로 변화가 없다!)

=> 2. A, B의 Eigenvector가 P에 의한 변환으로! : A와 B의 변환에서의 Basis 차이는 P에 의해서 생긴다!!

 

다음 시간에는 Diagonalization의 총정리로, Spectral Theorem에 대해 보고 마치도록 한다!