11-3에서 Diagonalization을 Differential Equation에 응용하는 것을 보았었다.
여기서는 더 나아가서 Jordan Form을 이용해보자!
(물론, 여기서도 미분방정식에 관한 내용을 모른다면, 패스해도 좋다!!!)
Jordan Form을 바로 이용해보기 전에, 먼저 Matrix의 Exponential에 대해서 잠시 언급하고 넘어가보자.
먼저, 다음과 같은 (일변수) 선형미분방정식을 생각해보자.
그렇다면, 이 미분방정식의 해는 다음과 같다.
(풀이)
그러면, (다변수) 선형미분방정식이라면 (즉, Systems of Differential Equation)..?
비슷하게 이 미분방정식의 해도 위처럼 Exponential로 쓸 수 있지 않을까??
그러면, 이를 위해서 Matrix의 Exponential을 어떻게 정의해야 할까???
다음과 같이 Matrix Exponential을 정의해보자!
(Matrix Exponential)
이 때, exponential이 Matrix라는 것만 주의하면(즉, 곱셈순서에 주의!) 그냥 Exponential의 정의와 동일하다!
그런데, 여기서 Diagonalization(Jordan Form말고!)을 이용하면, 더 단순해진다!!
lambda가 대각행렬이라는 것을 생각해본다면, 다음과 같은 사실을 바로 알 수 있다!
(NOTE) 여기서 Jordan Form과 차이가 생긴다!
그러므로 Diagonalize가 가능하다면, Matrix의 Exponential을 구하는 건 그냥 Eigenvalue의 Exponential들을 구하는 것과 동일하다!
그리고 실제로 저 꼴이 미분방정식의 해와 동일하다는 것을 바로 알 수가 있다.
(NOTE)
위에서 x를 t로 미분할 때, Exponential Matrix를 미분해야 하는데, 이 경우 각 Matrix 성분마다 미분을 해주면 된다.
이 때, Exponential Matrix가 "대각행렬" 이기 때문에, 그냥 exponential 미분하듯이 할 수 있다.
(NOTE2)
주의!!!
여기서 A가 상수행렬이 아닌, t에 대한 함수라면??? -> t에 따라서 Diagonalize되는 행렬(즉, Lambda와 T가 t에 대한 함수로 나온다)이 달라지기 때문에 이러한 접근법이 맞지 않는다!!!
=> (선형시스템의 LTV 시스템이 문제가 된다!!!)
(ex) 11-3에서 보았던 예시를 가져오자.
즉, 저 c가 결국 초깃값에 의해서 결정이 나는 것으로 생각하면, 위에서 나온 내용을 그대로 사용할 수 있다!!
그런데, 여기서 한가지 아쉬운 점은, 모든 행렬이 Diagonalization이 가능하지는 않다는 것이다.
그래서, Jordan Form을 이용해보자!!!
위의 Diagonalization을 Jordan Form으로 대체시킨다고 생각해보면...
=> 1. Matrix Exponential 정의
Eigenvector Matrix가 상쇄되는 것만 이용하기 때문에, 그대로 Jordan Form을 이용할 수 있다!
=> 2. Lambda가 대각행렬인 것을 이용해서
Lambda의 exponential은 각 성분의 Exponential과 동일하다는 것! => 당연히 Jordan Form이 대각행렬이 아니니 안된다!
그러면, Jordan Form인 경우 어떻게 계산할까???
=> 대각행렬과 아닌부분을 쪼개서 생각하자!
먼저, J의 제곱부터 생각해보자.
잘 보면 알겠지만, 그냥 이항계수(Binomial Coefficient)를 생각하면 된다.
그러므로,
Matrix Exponential은 다음과 같다!
그러면, 경향성을 보면 대각성분은 똑같이 Exponential이 나오지만
대각행렬에서 k칸 떨어진 부분은...
그러므로 정리하면 다음과 같이 나오는 것을 확인할 수 있다!!!
=> 3. 미분방정식에 Jordan Form을 이용하기 위해서, 이를 한번 미분해보면??? (직접 한번 계산해보자!)
=> Diagonalization과 동일한 결과가 나온다.
=> 즉, 미분방정식에도 jordan form을 그대로 이용할 수 있다!!!
ex)
미분방정식에서 Repeated Eigenvalue(동일 Eigenvector)일 때, 왜 Basis에 겹치는 개수만큼 exp에 t, t^2, ...이 붙는지 알 수 있다!!
그래서 Solution은...
(Repeated Eigenvalue가 0이라서 눈에 잘 띄지는 않지만, 0 대신에 Repeated Eigenvalue가 들어갔다고 생각하면, 미분방정식에서 배운 내용과 일치할 것이다!!)
여기까지, 아주아주 중요한 내용인 Diagonalization과 Jordan Form에 관한 내용을 마쳤다.
다음시간에는 "실수 행렬"을 벗어나서 "복소수 행렬"에 대해서 잠시 알아보도록 한다!!!
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