(선형시스템) 4-1. Response의 성능 in Time-Domain

이번에는 Response의 성능(Performance)에 대해서 알아보자.

 

일단, 아무 Input도 안 주면 아무 일도 안 일어날 것이다.(Initial Value가 안정되었다는 것을 가정하자)

앞에서는 Impulse를 주었는데, 이번엔 원하는 output을 얻기 위해서 Step Input을 줘보자.

즉, t=0에서부터 u=1로 주자!

(주어진 시스템은 다음과 같다.)

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1. Rise time

-> 주어진 Final Value의 10%~90%까지 걸린 시간을 말한다. (초록색 점 사이)

 

2. Peak time

-> Response가 최고점(peak)를 찍을 때까지 걸린 시간을 말한다. (빨간 점)

 

3. Overshoot

-> Response가 Final Value보다 더 지나친 정도를 말한다.

 

4. Settling Time

-> Response가 Settling Time 후에는, Final Value와 1%(이 수치는 임의로 정하긴 한다.) 안 쪽으로 차이가 난다.

 

--> 당연히 Rise Time, Peak time이 빠르면 더 Acute한 시스템이지만, Overshoot 또한 커질 가능성이 크다.

그리고 Settling Time이 작아야 하는 것도 당연!

-> 이를 Control하기 위해 PID Control 등장!

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여기서 Final Value가 나오는데, Final Value를 어떻게 구할까 잠시 생각해보면...

-> Final Value라는 건, 결국 infinity 시간이 지난 후의 Response! -> 안정된 시스템이라면, 고주파수 영역은 모두 제거가 될 것..

-> 결국 거의 s(freq)=0인 부분만 Response가 살아남음!

보다 정확히 보자면... -> 라플라스 변환의 미분값!

(Final Value)

그렇다면 위의 경우에선?

이와 비슷하게 Initial Value도 구할 수 있다!

(Initial Value)

(바로 반응 -> 주파수 아주 커야함!)

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그럼, 예시를 들어서 생각해보자.

만일 시스템이 2nd-order라면...

여기서

w_n -> 고유진동수!

zeta -> 주파수의 Damper! -> zeta에 의해서 고유진동수에서 진동수 줄어듬!

w_d -> Pole의 Imaginary part! -> 줄어든 주파수!

sigma -> Pole의 Real part! -> 결국 exponentially 줄어드는 정도!

 

이를 그림으로 나타내본다면

 

이 때, w_n과 w_d의 관계를 생각해보면

의 관게를 얻어낼 수 있다! -> 즉, zeta는 각도!(Phase)

그리고, alpha에 대해서 약간만 더 보자면

각도 사이의 관계를 아래에서 쓰니 참고!

 

이 때, 각각의 성능들을 계산해본다면

1. Final Value

Step Input를 넣었을 때,

2. Rise Time

먼저, Response를 계산해보면

이 때, Response가 0.1, 0.9인 경우의 시간을 계산해보면... 대충 다음과 같이 근사한다...

-> 고유주파수에 Dependent!

 

3. peak time

-> 주어진 Response를 미분하면 나온다!

-> Damped 주파수에 의해 변한다!

 

4. Overshoot

-> peak time의 response와 비교한다!

-> Damper에 의존한다!

 

5. Settling Time

-> Rough하게 구해보자.

-> Pole의 Real part(고유주파수, Damper)에 의존한다!

 

정리해보면

Rise Time	고유주파수에 의존
Peak Time	Damped 주파수(Damper, 고유주파수)에 의존
Overshoot	Damper에만 의존
Settling Time	Pole의 Real part(sigma)에 의존