(선형시스템) 3-2. Lyapunov Stability in LTI System

앞에서 LTI Sytem의 안정성을 설명하면서 Internal Stability(시스템 자체의 안정성)에 대해서 보았는데

-> Response가 시간이 지나면서 Bounded, 혹은 0으로 수렴하면 Stable하다고 하였다.

그러면, 진짜로 반응을 보아야만, Stability를 따질 수 있나? 라는 생각이 들텐데, 당연히 그건 아니고

-> Pole의 위치를 보면 된다! -> Routh Test

 

이번에는, Pole의 위치를 보지 않고, Stability를 따질 수 있는 방법을 소개한다. -> Lyapunov Stability

 

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(Lyapunov Equation)

이 때, A,B는 정사각행렬이다. (X는 꼭 정사각행렬일 필요없다.)

 

(Lyapunov Stability)

(만약에 positive definite 등을 모른다... -> 선형대수!)

 

즉, Lyapunov Equation의 Positive Definite 해가 유일하게 존재하면 저 시스템이 Stable하다는 내용이다.

왜 그러는지 살펴보자.

 

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(증명)

1. 먼저, A가 Stable하면, 저 식을 만족함을 보여보자!

A가 Stable하면, eigenvalue가 모두 LHP에 있으므로, 서로 다른 eigenvalue를 더하면 항상 <0....

이를 거꾸로 해보면, 주어진 N에 대해서 저런 X(Eigenvectors)를 구할 수 있으므로, 항상 Unique한 Solution을 얻게 된다!

 

그럼, 이를 좀 더 증명해보자. 일단, 저 X를 다음과 같이 잡아놓자.

이 X가 Lyapunov Equation을 만족함을 보이자.

이 때, N이 Symmetric이므로 X도 Symmetric!

또한, Positive Definite의 경우도,

로 증명이 가능하다!

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(NOTE)

Positive Definite는 다음과 같이 Decomposition이 가능하다.

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그러면, 이제 해의 유일성을 체크해보자!

일단, 해가 여러개 있다고 가정해보자...

그러므로 해는 유일하다!

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2. 역으로 Lyapunov Equation을 만족하는 해가 유일하면, A가 Stable함을 보이자.

(NOTE) Hermitian(에르미트 전치)를 사용하자!

그러므로, A가 Stable하다는 것을 보였다!

 

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이걸 보면서, 굳이 Pole의 위치를 따지면 되는 쉬운 방법이 있는데, 왜 이렇게까지 해야 할까라는 생각을 할텐데,

Nonlinear System에서 안정성을 따질 때, 변형해서 사용할 수 있다!