이번 챕터에서는 면적분이 어떻게 물리에 활용되는지 살펴보려고 한다.
전자기학에서 중요한 맥스웰 방정식(Maxwell's Equations)과, 유체역학에서 활용되는 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equations)의 증명 말고 의미 정도만 살펴보려고 한다.
1. Maxwell's Equations
전자기학에서 맥스웰 방정식은 전자기학의 기본이 되는 방정식으로 알려져 있는데, 이 식이 의미하는 것은 결국엔
전기장과 자기장이 어떻게 작동하는지 알려주는 것이다. 총 4가지 식으로 되어 있는데 다음과 같다.
여기서 E는 전기장, B는 자기장, epsilon_0은 진공의 유전율, mu_0는 진공의 투자율을 뜻한다.
(1번 식) -> 전기장에 대한 가우스 법칙
간단하게 이야기하면, V의 boundary를 따라서 전기장을 적분하면, V 내부의 총 전하량에 비례한다는 이야기이다.
그런데, 우리는 면적분의 dA의 방향이 V 밖으로 나가는 방향이라는 것을 알고 있으므로, 면적분 내부의 내적에 의해서 1번 식의 왼쪽은 V에서 나가는 전기장의 총량이라고 할 수 있다. (굳이 따지자면 전기선속(FLUX)).
즉, 면적분의 의미는 그 면적을 통해 (수직으로) 나가는 물리량의 FLUX라고 할 수 있다.
그러면, 1번 식이 의미하는 바는 V에서 나가는 전기장의 총량은 그 내부의 전하량에 비례한다이다.
-> Q_total이 0이라면 전기장이 나가지 않는다! (V 내부의 전기에너지 그대로)
-> Q_total이 양수라면 전기 에너지가 V 밖으로 방출 / 음수라면 전기 에너지가 V 안으로 들어온다.
다른 말로, 1번 식은 전기 에너지 보존을 의미하고, 특히, 전기장의 SOURCE(전하 -> 양전하 / 음전하)가 존재한다는 이야기이다. 이 얘기는 2번 식을 이야기할 때 더 살펴보자.
(2번 식) -> 자기장에 대한 가우스 법칙
간단하게 이야기하면, V의 boundary를 따라서 자기장을 적분하면 그냥 0가 나온다는 얘기이다.
이 얘기는, 전기장과는 달리 자기장은 어떤 V 내부에서 Source를 관찰할 수 없다는 이야기이다. 즉, 만일 자기장이 V의 어디선가 + 부호를 가진다면, V 내부 어디선가는 분명히 -를 가져서 0으로 맞춰져야 한다고 생각할 수 있다.
이렇게 보면 잘 안 보이니, 발산정리과 스토크스정리를 이용해서 위의 식을 다중적분으로 다 바꿔버리자!
저 적분기호들을 다 떼어버리면 (즉, 미소 부피/면적에서 보자면) 다음과 같이 된다.
여기서 rho는 전하밀도(단위부피에서의 전하량), J는 전류밀도(단위면적에서의 전류)이다.
2번 식의 의미가 더욱 잘 보인다! -> 자기장의 발산이 0이다!
(3번 식) -> 패러데이 법칙
미분 식(curl)을 보면, 자기장의 시간에 대한 변화가 전기장의 curl(회전)이라는 것을 알 수 있다.
가장 대표적인 예로, 자석을 움직이면 -> 전기장의 변화가 생긴다! -> 발전기의 원리!
고등학교 물리에서 e(유도기전력)=Blv 뭐 이런 공식으로 나온 것 같았는데 사실 패러데이 법칙을 사용하면 유도가 가능하다.
또한, 잠재함수(Potential)가 존재하면, curl이 0이라고 했었다.
그러므로,
자기장이 움직이는 상황이라면 -> 전기장이 비보존장이다!
자기장의 변화가 없다면 -> 전기장이 보존장이다! (예를 들어서, 전하가 고정되어 있다면...(정전하))
사실 자석을 움직일 때, 전기장이 비보존장인 것은 당연한데, 전자기유도에 의해서 기전력이 생기므로, 전하가 받는 힘이 자석의 움직임에 따라 달라지는 것은 당연할 것이다... 그러므로 전하가 원래 자리로 돌아오는 것은 거의 불가능할 것이다.
(4번 식) -> 앙페르-맥스웰 법칙
아마, 고등학교에서 가장 못 봤거나 봤어도 부분적으로 보았을 맥스웰 방정식 중 하나로 전기장의 시간에 대한 변화 또는 전류 자체가 자기장의 변화를 일으킨다는 내용이다.
여기서 3번 식과 구별해야 할 것은, 전류 자체도 자기장의 변화를 일으킨다는 내용이다.
3번에서는 자기장이 움직이지만 않는다면, 전기장의 변화가 없었다. 그러나, 전기장은 그 존재만으로도(전류 일정 -> 전기장 형성, but 전기장 변화 없음) 자기장의 변화를 일으킨다.
고등학교에서는 아마 전기장의 변화는 체크하지 않았고, 전류가 흐르는 도선 주위에 자기장이 생긴다는 내용으로 배웠을 것이다.(도선 주위에 나침반 놓고 방향 체크...)
또한, 공식이 자기장 B가 2pi*mu_0*I(전류)/r(도선과의 거리).... 뭐 이런 식으로 기억을 하는데 하여튼 이 공식에서 유도했다고 생각하면 된다. (도선 주위 원통으로 S를 잡아서 적분하니, 2pi도 튀어나오고 그런식...)
정리하면,
| 1.전기장은 SOURCE가 존재함 (양전하 / 음전하) |
| 2.자기장은 SOURCE 관찰 불가 |
| 3.자기장의 변화가 전기장의 변화를 만듬 |
| 4.전기장 자체, 전기장의 변화가 자기장의 변화를 만듬 |
특히, 3번 식과 4번 식 때문에 전기장과 자기장은 단독으로 존재할 수가 없다!!! -> 전자기장 개념의 시초가 된다!
(전기장이 존재 -> 자기장의 변화 -> 전기장의 변화 -> 자기장의 변화 ->....)
또한, 맥스웰 방정식이 양자역학의 개념을 살짝 담고 있다고 할 수 있는데,
저 4개의 식에 관여하는 변수, 즉 우리가 구하고자 하는 변수는 총 6개가 된다. (전기장 x,y,z성분, 자기장 x,y,z 성분, 나머지는 다 물리상수)
그런데 4개의 식으로 6개의 변수를 unique하게 결정할 수 있는가??? -> NO....(부정형 방정식이 되버림...)
그러므로, 저 맥스웰 방정식 가지고는 전기장과 자기장을 unique하게 결정할 수 없다. 그런데, 전기장이 결국엔 전자의 움직임과 관련이 있어버리니, 전자의 움직임을 결정할 수 없다는 결론이 된다....ㅠㅠㅠㅠ 혹시 전기장과 자기장의 운동에 관련된 식이 추가로 나오지 않는다면...
2. Navier-Stokes Equation
유체역학에서 나비에-스토크스 방정식은 유체가 어떻게 흐를지(속도), 또한 유체의 물리량(밀도, 온도, etc....)에 대해서 기술한 방정식이다. 다시한번, 면적분이 FLUX라는 사실을 생각하면서 나비에-스토크스 방정식을 확인해보자.
(연속방정식 -> 질량보존)
(Navier-Stokes(나비에-스토크스) 방정식 -> 운동량(힘)보존)
(에너지 보존식)
이번에도 똑같이 미분식으로 써보면
아마 내용을 모르면 이해가 안되는 식이 분명히 있을텐데, 이는 아래 설명을 참고바란다.
(연속방정식)
간단히, V 내부의 질량 변화는 V의 경계면의 mass flux 유출입과 같다는 것이다. 즉, V의 질량 보존식을 나타낸다.
(Navier-Stokes Equation)
이 식은 V에서의 운동량 보존을 나타내는 식이다. 즉,
을 나타내는 식이다. -> 결국 뉴턴의 제 2법칙
주어진 부피 V에서 적분하므로, 질량 m 대신, 밀도 rho로 대신한다고 생각하면 된다.
이 때, 식에서 두번째 항의 곱셈은 텐서곱이다.
-> 사실 첫번째 항부터 적분 결과가 벡터(x,y,z축 각각...)로 나오므로 두번째항 적분 내부의 값은 다음과 같이 나온다.
dA가 벡터로 나오니까, 두번째항 또한 벡터(x,y,z축)로 나온다.
또, tau는 stress로 만일 유체가 점성이라면 저 항에 점성항을 고려해주면 된다.
마지막 항은 중력을 고려한 항으로 중력가속도 g가 포함되어 있다.
결론은, 유체 자체의 운동량 변화량(왼쪽 항)은 외부로부터 받는 힘(압력, stress, 중력)이라는 것을 말해준다
(에너지보존식)
e는 기체의 내부에너지로, 일반적으로 온도 T에 비례한다. q_cond는 경계면을 통해 유출입하는 열의 flux이고, q_source는 V 내부의 열원에 의해서 생기는 에너지이다. 그리고, 나머지는 Navier-stokes에서 나온 힘들(Force)을 일률처럼 생각해서 속도를 내적해준 것이라고 생각하면 된다.
우리가 구해야 할 변수는
밀도, 속도(x,y,z 각각), 압력, 온도 => 6가지...
그런데, 식은 총 5개이다. (Navier-Stokes 식은 벡터식 -> 각 x,y,z 축으로 각각의 스칼라 식)
위에서와 같이 변수를 unique하게 정할 수 없다....
그래서 지배방정식에 이상기체방정식(굳이 이상기체일 필요는 없지만 대부분...)을 더해서 변수를 구한다.
사실, 이렇게 일반적인 경우로 푸는 경우는 특별한 상황이 아닌 이상 거의 없고, (손으로 푸는 경우) 비압축성이나 비점성의 가정을 하게 된다.
그리고 아는 사람은 알겠지만 저 미분방정식(특히, Navier-Stokes의 두번째 항)이 아....주 비선형이라 손으로 푼다는게 말이 안되서, CFD(Computational Fluid Dynamics)(전산유체)가 등장하는 배경이 된다.
또한, 밀레니엄 문제에 저 "Navier-Stokes Equation의 Globally 해가 존재하는가"가 포함되어 있기도 하다. 그만큼 해를 구하는게 꽤나 어려운 일이다..
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