저번 챕터에서는 함수의 극한과 연속에 관해서 설명했다면 이번 챕터에서는 드디어 함수의 미분에 관해서 설명한다
(함수의 미분)
뭔가 되게 복잡하게 설명하긴 하였는데, 결과적으로는 다음과 같다.
사실 저 위에 phi함수는 도함수(derivative)를 정의하는 것 때문에 사용한 것이고, 저 분수함수(평균변화량)가 x=c 근방에서 잘 정의된 것이 명확하다면 아래 정의를 써도 된다.
즉, 저 평균변화량의 극한값이 정의되면 미분가능하다(differentiable)고 한다.
결론적으로는 우리가 배웠던 미분의 정의 그대로 가져다 쓰면 된다.
고등학교 때 배웠던 것을 잠깐 짚고 넘어가자면
여기서 바로 미분가능성과 연속성의 관계가 바로 나온다.
(Differentiation & Continuity)
x=c에서 미분가능한 함수는 연속이다.
(증명)
간단한 증명이라 따로 설명하지 않고 넘어간다.
이 미분 파트에서 가장 중요한 정리인 Chain Rule을 소개한다!
(Chain Rule)
흔히 합성함수의 미분법으로 불린 바로 그것이다. 이 Chain Rule은 아주아주아주 중요하므로 꼭 기억해야 한다.
증명은 고등학교 때와 똑같으니 생략하고, 조금 더 자세한 설명을 이어간다.
특히, 이 Chain Rule의 가치는 다변수함수로 넘어가면서 아주 빛난다. 그리고 왜 prime(')으로 미분을 표현하는 뉴턴식보다 dy/dx로 나타내는 라이프니츠식 미분 표현이 더 선호되는지 알 수 있다.
Chain Rule이 왜 중요한지 설명을 하기 위해서는 저 dy/dx가 어떤 의미인지 잘 알아야 한다.
혹시 고등학교에서 dy/dx의 의미를 y를 x로 미분한다라는 의미로만 배웠는가???
NONONONONO....
혹시 물리학을 해본적이 있다면, 저 dy/dx의 의미를 속도를 배우면서 알게 될텐데,
이런 식을 본 적이 다들 한번 쯤은 있을 것이다.
저 Delta x, Delta y는 각각 x,y의 변화량을 뜻하는데, 저 dx, dy 자체가 실제로 그러한 뜻을 가진다. (이러한 논의는 나중에 적분을 다룰 때도 또 나올 예정이다.)
그러니까, dy/dx라는 뜻은, (x가 아주 살짝 변할 때), (y가 (x가 변하는 것보다) 얼마나 더 변하는가)라는 것이다.
예를 들어서, x가 Delta x만큼 바뀌었을 때, y가 3(Delta x)만큼 바뀌었다면, 그리고 그 Delta x가 아주 작다면, dy/dx=3이 된다.
이를 저 합성함수의 경우로 확장해서 저 chain rule을 증명해보자.
h=g(f(x))인데, 우리가 원하는 h'(x)는 dh/dx이다. 즉, x가 아주 살짝 변했을 때, h가 얼마나 변하는지를 보는 것이다.
순차적으로 이를 접근해보면
x가 아주 살짝 변하면 f(x)가 살짝 변할 것이고(f'(x)=df(x)/dx만큼!)
그 f(x)가 살짝 변하면 g(f(x))가 살짝 변할 것이고(g'(f(x))=dg(f(x))/df(x)만큼!)
결국 g(f(x))가 변한 건 f'(x)g'(f(x))만큼 변할 것이다.
생각하기 조금 어렵다면 저 lim을 떼고 생각하자.
만일 x가 1만큼 변할 때, f(x)가 3만큼 변하면 f'(x)=3
그 f(x)가 1만큼 변할 때, g(f(x))가 2만큼 변하면 g'(f(x))=2
그러면 x가 1만큼 변할 때, h=g(f(x))는 당연히 6만큼 변할 것이다. dh/dx=6
이를 라이프니츠식으로 나타내면
여러 함수가 합성이 되어 있는 경우라면 이렇게도 확장이 가능하다.
만일 뉴턴식을 사용한다면, 오해의 여지가 많이 생길 수도 있으므로, 다변수로 오면 꼭 라이프니츠식을 이용하도록 하자...
다음 시간에는 이를 이용한 아주 중요한 정리인 평균값 정리를 살펴보고, 고등학교 때 몰래 쓰던 로피탈 정리를 소개한다.
