(선형대수학) Summary 1. Ax=b를 어떻게 푸는가?

지금까지 했던 내용들을 간략하게 정리합니다.

 

Main : Ax=b를 어떻게 풀까??

 

"정사각행렬"인 경우

=> 역행렬을 구하자!

1. 역행렬을 쉽게 구하는 방법??

=> Gauss-Jordan Elimination

=> LDU Decomposition! (꼭 정사각행렬일 필요는 없다!)

 

2. 선형종속 / 선형독립 (Linear Independence)!

=> 모든 Column들이 linearly Independent인 경우 역행렬 존재!

 

3. 행렬식(Determinants)

Gauss-Jordan Elimination은 그저 역행렬을 구하는 과정일 뿐...

=> 수식으로 깔끔하게 역행렬을 쓸 수 없을까???

=> Cramer's Rule -> 역행렬을 구해서, Ax=b의 해를 구한다!

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"좌우로 길쭉한 경우"

3. 일반해와 특수해(Homogeneous Solution, Particular Solution)

=> Ax=0과 Ax=b의 해를 쪼개서 생각해보자!

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"위아래로 길쭉한 경우"

4. Least-Squares Method

=> 다 만족시킬 수 없으니

=> "최적의 해" 를 구하자! (Optimization Problem)

 

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기하학적인 의미를 보기 위해서...

1. Vector Space

=> Row / Column / Null / Left-Null Space!

=> Span, Basis, Dimension 등의 내용을 보았다!

 

2. Orthogonality

=> 벡터의 내적과 Norm에 관련된 내용을 보았다.

=> Least-Square Method에서 Orthogonality를 이용!

=> Orthonormal basis를 찾기 위해서 Gram-Schmidt Process를 이용한다!

 

추가 2.

Gauss-Jordan Elimination에서 더 나아가서... => Rank!!!(정사각행렬 아니어도 된다!) => 역행렬의 존재성!

 

(물론, 추가라고 해서 중요하지 않다는 것은 아니다. 오히려 위의 Ax=b를 푸는 것보다 더 중요한 내용들이 많다!)

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이제부터 나올 얘기들은 지금까지의 내용을 이용해서 "응용"하는 듯한 느낌이다.

특히, 

Decomposition of Matrix (행렬의 분해)

에 대해서 집중적으로 다루어보는데, 앞에서 보았던 LDU Decomposition, QR Decomposition이 그 예시이다.

 

Decomposition은 행렬을 다룰 때, 행렬의 "성질"을 알아보는데 아주 중요한 역할을 하므로, 매우 중요하다.

ex)

LDU Decomposition => Pivot을 알려줌! => 역행렬의 존재성! or Rank!

QR Decomposition => 좌표계 변환의 표준! (Q: Orthonormal Basis)

 

다음 시간부터, 이러한 내용들에 대해서 자세히 알아본다.