(선형시스템) 8-4. State Estimator(Observer)

전 챕터에서는 State-Variable을 다 알고 있다는 가정 하에서, Full-state Feedback Controller를 작성하였는데,

문제는, 실제로 모든 state-variable을 알 수 없는 경우가 많다는 것이다...

 

그래서, 이 State-Variable x를 우리가 볼 수 있는 y를 통해서 "추정(Estimate)"하고,

추정한 x와 실제 x의 Error Dynamics를 이용해서, 이 Error를 0으로 줄이면서, x를 추정하게 된다.

 

이게 무슨 소리인가 싶을텐데, 아래 내용을 살펴보자. (여기서 D=O로 간략화!)

먼저, Original System을 이용해서 Estimated System을 구성하게 된다. 이 때... 당연히 Estimated System에는 추정에 의한 Error Term이 존재할 것이다. 여기서 Error Term을 살펴보자!!

원래의 시스템을 추정할 때, 원래의 시스템 + (약간의 오차항)이 있을 것이고, 우리가 보는 값은 오직 y이므로, y를 이용해서 Error Term을 만들어내자...

 

x_hat이 x를 잘 쫓아가면, (y에 대한 Error)가 0으로 가야 할 것이므로, Error Term은 (y에 대한 Error)에 선형식으로 나타낼 수 있을 것이다.

 

그러므로, Error Term은 위처럼 L을 이용하여 작성할 수 있을 것이다. 그러면, 우리의 Estimated System을 위와 같은 식으로 나타낼 수 있고, 또한,

라는 사실을 이용한다면, 위의 Error Dynamics도 쉽게 얻어낼 수 있을 것이다.

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이 Error Dynamics는 당연히 Stable해야 하므로.... 즉,

이므로, 저 (A-LC)의 Eigenvalue가 모두 LHP에 있어야 한다!!!

 

만일, 이를 만족한다면

1. Error가 0으로 간다!

2. 우리의 (Estimated System)이 x를 잘 쫓아간다.

3. 결국 Estimated value x_hat으로 x를 대체할 수 있다!!

 

그런데, 8-2의 Observability 내용을 다시 한번 생각해보자.

(Observability)

y를 통해서 x를 구할 수 있는가??? -> y를 통해서 x를 추정할 수 있는가???

 

그러므로 아래 두 내용은 동치이다!

(A-LC)의 Eigenvalue가 모두 LHP <-> Observable

즉, 이를 만족하는 L만 잡으면, 우리는 y로부터 x를 추정할 수 있는 식을 얻게 된다!

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잘 생각해보면, Observability라는 것은 Controllabilty와 다를 바가 없다...

다만,

1. Controller K -> x에 대한 Dynamics

2. Observer L -> (x의 Error)에 대한 Dynamics

 

이고, (A-BK) 혹은 (A-LC)의 eigenvalue를 LHP에 놓아야 한다.

-> Pole-Placement!!! 를 이용해서 (8-3에서 본 것처럼!) 우리가 마음대로 Pole을 놓을 수 있다!!!

 

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그러면, Feedback Control과 Observer의 내용을 합쳐보자!!

-> 8-1의 그림을 이제는 이해할 수 있을 것이다!!

 

(위에서 F, G인 이유는 A, B조차도 잘 모르는 경우도 있으므로 이를 추정하는 것으로 놓은 것이나, 여기서는 일단 F, G가 각각 A, B라고 하자!)

 

이 시스템의 Dynamics를 살펴보자!

이를 Block Matrix로 정리하면..

그러므로, 그냥 하나의 간략한 System이 된다!!!

 

게다가, 이 시스템의 안정성을 판단하기 위해서 characteristic equation을 계산해보면...

즉, Controller와 Observer에서 각각 했던 내용들(Eigenvalue가 모두 LHP)를 단순히 합하면 이 시스템의 안정성을 판단할 수 있다!

 

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일단 여기까지 선형시스템의 기본적인 내용을 살펴보았고,

Advanced 카테고리에 LQR(Linear Quadratic Regulator)이나, 다른 여러 가지 내용들을 더 실을 예정입니다!