(선형시스템) 8-1. Intro. of Full-State Feedback Control

지금까지는 "Frequency Domain"에서 Controller에 대해서 작성해보았다면

이번에는 다시 Frequency Domain 에서 배운 내용을 가지고 -> Time Domain으로 돌아와보자.

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주어진 LTI 시스템은 Time-Domain에서 다음과 같았다.

Frequency Domain에서 State-Feedback Control에 대해서 설명할 때, Closed-Loop System을 이용해서

Input(u)에 측정값(y)을 다시 먹이는(Feedback) 작업을 했었는데,

Time Domain에서도 동일하게 생각할 수 있다.

즉, 그냥

이라고 생각해버리면 된다!

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그런데, 여기서 State Variable x와 측정값(Estimated Value) y에 대해서 잠시 생각해보자.

 

1. State Variable x는 앞에서 말했듯이 임의로 잡을 수 있다고 했다. (물론, 시스템을 표현할 수 있을 정도로 개수가 있어야함...)

그런데, 센서로 이 y들을 모두 다 재면 좋겠지만, 이는 오히려 불필요할 수 있다.

예를 들어서, 측정값(y)들 중 어떤 것을 그냥 x의 선형결합을 통해서 바로 구할 수 있다면, 굳이 복잡하게 할 필요 없이, 센서를 달 필요가 없을 것이다.

그러므로, (측정값 개수) <= (State Variable 개수)

 

2. 또한, (측정값 개수) > (State Variable 개수) 일 필요도 없다. 이는 결국 센서가 불필요하게 많다는 것을 의미하기 때문이다.

 

=> 그러므로 가장 베스트는, 측정값의 개수와 State Variable의 개수가 동일한 것일 것이다.

 

(Full-State Feedback Control in Time-Domain)

즉, Time-Domain에서의 Controller는 

로 하는 것이 심플하다!

(물론 경우에 따라서, 측정값(y)에서 x를 추론할 수 없는 경우가 생기므로(Unobservable) -> 다음 챕터에서 설명, u=-Ky로 쓰는 경우도 있다!)

=> 이를 Full-State Feedback Control이라고 한다!

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이를 Frequency Domain에서 보았던 그림처럼 생각해볼 수도 있다!

주어진 LTI 시스템을 Frequency Domain으로 옮기면...

1. (Modal Canonical Form)

위의 Proper Transfer Function을 다음과 같이 부분분수로 쪼갠다면...

만일 우리가 여기서 State Variable을 각각의 쪼개진 부분분수로 잡는다면

이를 우리가 Frequency Domain에서 본 그림대로 생각한다면

 

2. (Control Canonical Form)

이번에는 우리가 Mass-Spring-Damper 시스템에서 했던 것처럼, 순차적으로 State Variable을 잡아보자.

즉,

 

=> 결국엔 Frequency Domain에서 했던 내용 그대로 적용할 수 있다는 것을 알 수 있다!!

 

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이런식으로 생각해본다면, Full-State Feedback Control은 다음 그림처럼 표현할 수 있을 것이다.

Plant 블럭에는 위에서 본 Modal form이나 Control form이 들어갈 수 있을 것이다.

 

그런데, 여기서 한가지 생각해보아야 할 것이 있다....

우리가 측정하는 값은 항상 y인데, Controller에서는 x를 쓰게 된다....

-> State Variable x를 y를 통해서 항상 알 수 있을까???

=> Observability 문제!!!

이 경우에는 State-Variable x를 추정하는 Estimator(Observer)를 하나 달아서 x를 추정하게 된다.

 

또한, Regulating/Tracking 문제에서...

항상 x(혹은 y)를 우리가 원하는 값으로 옮길 수 있을까???

=> Controllability 문제!!!

Regulating/Tracking 문제에서는 다음과 같이 Block Diagram을 그릴 수 있을 것이다.

 

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일단 개략적으로 State-Feedback Control에 대해서 살펴보았고, 다음 챕터에서 Controllability와 Observability에 대한 내용을 살펴보자!