지금까지 배운 것들을 끄적여 보았습니다.
배운걸 그냥 두는게 아까워서 그저 아는 것만큼 작성하였습니다.
도움이 된다면 좋고, 안된다면 어쩔 수 없죠...
수정이 필요하거나 질문, 틀린 부분이 있다면 댓글로 알려주세요!
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선형대수학
(선형대수학) 5-3. 역행렬 존재성에 대한 조건을 정리해보자(1)
역행렬이 존재할 조건 (즉, 역행렬이 존재한다와 "동치"인 명제들)을 정리합니다! 여기선 "정사각행렬(n by n)"인 경우만 생각합니다. (일단 길쭉한 것들은 정확한 "역행렬"의 의미가 아니므로) 행렬 A(n by n)에 대해서 역행렬이 존재한다는 것은 1. A가 Invertible하다! (이 말 자체가 역행렬이 존재한다는 뜻입니다.) 2. A의 Columns / Rows 가 모두 Linearly Independent 3. A의 Column / Row Space의 차원(Dimension) = n 4. A의 rank -> rank(A) = n (Full-rank) 5. A의 Pivot에 0이 존재하지 않는다. 6. A의 Reduced Form (혹은 Echelon Form)에 [0,0,0,...0]으로 ..
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선형대수학
(선형대수학) 5-1. 계속 나오는 Rank! -> 정의(Definition)
이번 시간에는 행렬의 Rank에 대한 내용이다. 행렬에서 Rank는 아주 중요한 개념이고, 계속 등장하므로 꼭 알아두자!!! (2-1 -> 가우스-조던 소거법) : https://0418cshyun.tistory.com/145 으로 다시 돌아가보자! 다음과 같은 정사각행렬이 아닌 경우의 예시가 있었다. 1. Echelon Form => 정사각행렬에서의 Upper Triangle을 뜻한다. => 정사각행렬이 아닌 경우에는 계단모양("Staircase") 행렬을 말한다! 2. Reduced Form => LU Decomposition -> LDU Decomposition으로 올 때, Triangle Matrix의 대각성분(0은 빼고)을 모두 1로 만들어 주었다. => 이런식으로 대각성분을 모두 1로 바꿔준 ..
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(미분방정식) 7-3. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (3)
이번 챕터에서는 특성방정식의 해가 "중근"이 나오는 경우를 살펴볼 것이다. 우리 문제가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. 그러면, 6-1에서 본 것처럼 해를 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 해가 2개가 나온 경우에는 두 개를 써줄 수 있었는데, 이 경우에는 근이 하나밖에 나오지 않으므로 위와 같이 써주는 것이 최선이다. 6-1에서 미분방정식의 해가 나올만한 함수들을 골라서 대충 때려넣었듯이, 억지로 이 미분방정식의 해가 나올만한 함수를 하나 더 찾아보자. (IDEA) 결국 exp(-t)는 해가 되어야 하므로, 다음과 같은 식이 해가 된다고 가정해보자! 그러면, 즉, 다음 식은 주어진 미분방정식의 해가 된다! => 우리가 특성방정식의 해로 구한 미분방정식의 해에 t를 곱한 것이 또 다른 해가 된다!! 일..
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(미분방정식) 7-2. 2nd-order ODE with Constant coefficients (2)
이번에는 특성방정식을 풀었을 때 2개의 허근이 나오는 경우를 살펴보자. 먼저, 미적분학을 보고 왔다면 이미 알겠지만, 오일러 공식을 다시 한번 떠올리자! 지수가 순허수인 경우가 아니라면 다음처럼 볼 수 있다. 자세히 설명할 필요도 없이 그냥 실수부와 허수부분의 지수를 따로 떼어놓았을 뿐이다. => 발산/수렴하는 (Exponential) 부분과 진동(삼각함수)부분을 분리! 두번째로 2차방정식에서 복소수 근이 나오는 경우 -> 당연히 "켤레복소수(Conjugate)" 또한 해라는 것을 알고 있을 것이다. 그런데, 흔히 저지르는 실수 중에 하나가 2차방정식의 계수가 모두 "실수"여야 한다는 조건을 놓친다는 것이다. 즉, 정리해보면 다음과 같다. (Solution of 2nd-Order Equation -> C..
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(미분방정식) 7-1. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (1)
6-1에서 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 푸는지 간단하게 보았는데, 이번 챕터에서는 조금 더 자세히 알아보도록 하자. 먼저, 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 풀었냐면 => 특성방정식(2차방정식)을 풀고 => 해를 다음과 같은 형식으로 놓고 => 초깃값을 집어넣어서 해를 구한다! 그러면 c1,c2를 구할 수 있으니 그대로 해를 써주면 그게 바로 2차미분방정식의 해였다!! 이 때, 우리는 특성방정식의 해의 종류를 기준으로 조금 더 알아보려고 한다. => 실근 2개 (7-1에서 설명) => 중근 1개 (7-3에서 설명) => 허근 2개(켤레복소수) (7-2에서 설명) 먼저, 실근이 2개인 경우 나올 수 있는 케이스는 다음과 같다. => 양수 2개 => 양수 + 음수 => 음수 2개 (해가 0인 경..
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