지금까지 배운 것들을 끄적여 보았습니다.
배운걸 그냥 두는게 아까워서 그저 아는 것만큼 작성하였습니다.
도움이 된다면 좋고, 안된다면 어쩔 수 없죠...
수정이 필요하거나 질문, 틀린 부분이 있다면 댓글로 알려주세요!
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선형대수학
(선형대수학) 15-1. Intro. of Singular Value Decomposition
이번시간에는 Singular Value Decompostion에 대해서 알아보자. 먼저, 우리가 지금까지 계속 해왔던 Diagonalization(혹은 Jordan Form)은 모두 정사각행렬에 대해서만 적용이 되었다. 이를 확장해서 임의의 모양을 가진 행렬에 대해서도 적용을 시킬 수 있을까??? 그 전에 알아두면 좋은 Lemma를 소개하고 넘어간다. (Lemma 1) 만일 A가 정사각행렬이고, Diagonalization이 가능한 경우, 0이 아닌 eigenvalue의 개수가 A의 rank와 동일하다! 즉, 0인 eigenvalue의 개수가 Null Space의 Dimension과 일치한다! (증명) 더보기 간단히 설명하자면, eigenvalue가 0인 경우에는 => 거기에 해당되는 eigenvecto..
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해석학
(해석학) 26. 함수를 재보자! (Measurable Functions)
지난 시간까진, 집합을 재어보았다면 이번 시간에는 함수를 재볼 것이다. 먼저, Measure가 정의된 Space에 대해서 생각해보자. (Measure Space, Measurable Space)(측도 공간과 잴 수 있는 공간) 예를 들어서, X가 자연수집합, sigma-ring을 X의 모든 부분집합, mu(A)를 A의 원소 개수라고 한다면 -> X는 잴 수 있는 공간! 그리고, 이 Measurable Space에서 정의된 함수에 대해서 Measurable Function을 정의하자. (Measurable Function)(잴 수 있는 함수) 어떻게 생각하면 되냐면.... 르벡적분 시작부분에서 다음 그림을 보았다! 르벡적분 부분에서, A의 길이(측도)는 결국에 저 가로로 길쭉한 직사각형의 가로 길이를 말하..
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(미분방정식) 9. Higher-Order ODE
지금까지 1차, 2차 미분방정식에 대해서 살펴보았다.더 고차의 미분방정식도 접근방식이 동일하다! (Definition of N-th order Linear Ordinary Differential Equation)다음 식을 N차 선형 ODE로 정의할 수 있다. 이 때, 초깃값은 다음과 같이 주어진다. => 이를 만족하는 식 y(t)를 구하는 것이 우리의 목적이다! 또한, n차 선형 ODE는 다음과 같이 구분할 수 있다. => 그러면, 2차 선 ODE에서 본 것 같이, 해는 다음과 같이 n개의 Basis(y1, y2, ...., yn)으로 구성된다. => 2차 ODE와 마찬가지로 Wronskian을 다음과 같이 정의할 수 있다. => 2차 ODE와 모든 성질이 동일하기 때문에, 자세한 내용은 패스하도록 한..
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(미분방정식) 부록 2. Non-Constant Coefficients & Nonlinear ODE
우리는 대부분 상수항을 가진 ODE를 보아왔는데, 이번엔 간략하게 상수항이 아니거나 비선형 ODE를 어떻게 푸는지 살펴보자.먼저, 이미 배웠던 내용들을 정리해보자. (1차 ODE) - Nonlinear 1. 변수분리법 - Linear 1. 변수분리법 2. Integrating Factor (Variation of Parameters), (일반적인 해) (2차 ODE) - Nonlinear 1. 변수분리법 2. ??? - Linear 1. 특성방정식 해, 미정계수법 (상수항) 2. Variation of Parameters (일반적인 해) (Example 1) (풀이)변수분리법 쓰면 바로 풀 수 있다. (Example 2) (풀이)약간의 트릭을 사용하여 변수분리법을 쓰게 만..
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(미분방정식) 부록 1. Wronskian (Advanced)
이번에는 Wronskian에 대해서 조금 더 자세히 알아보자.1. 선형결합과 Wronskian여기서 우리가 알아볼 것은 2차 ODE의 해에서 나오는 2개의 함수 y_1, y_2가 서로 linearly independent하다는 것이다.먼저, 미분가능한 함수 f,g가 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. 1. f,g가 linearly Dependent이면, 모든 t에 대해서 W(f,g)(t)=0 이다.2. 어떤 t에서 W(f,g)(t) ~=0 이면, f,g는 linearly independent이다. (증명)더보기1번을 증명하면 2번도 바로 증명되므로, 1번만 증명해보자.사실, 이건 선형대수학 내용만 알면 바로 증명되는 내용이다. Q.E.D위의 2번 내용을 다시 ODE와 엮어보자. 6-2, 6-3 에서 ..
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