지금까지 배운 것들을 끄적여 보았습니다.
배운걸 그냥 두는게 아까워서 그저 아는 것만큼 작성하였습니다.
도움이 된다면 좋고, 안된다면 어쩔 수 없죠...
수정이 필요하거나 질문, 틀린 부분이 있다면 댓글로 알려주세요!
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해석학
(해석학) 18-2. 적분과 미분 순서를 바꿔보자! (Leibniz's Integral Rule)
(미적분학 참고링크) (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function): https://0418cshyun.tistory.com/34 이번 챕터에선 적분과 미분 순서를 바꾸게 하는 라이프니츠 공식에 대해서 알아보자. 앞에서 보았듯이, 결국 lim 순서를 바꿀 때처럼, 키포인트는 "Uniform Convergence"이다! (미분, 적분 모두 다 결국엔 lim로 정의가 되니까!) (Leibniz's Integral Rule)(라이프니츠 공식) 아래의 4가지 조건을 만족하면 미분과 적분 순서를 바꿀 수 있다. 즉, 1. f가 어떤 닫힌 영역에서 정의되어 있고, 2. alpha는 단조증가함수 (적분 정의 위해서) 3...
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선형대수학
(선형대수학) 4-3. Span, Basis, Dimension
이번시간엔 저번시간에 잠깐 보고 패스했던, Span, Basis, Dimension등의 용어에 대해서 알아보자. 1. Span Span이라는 말은 바로 "늘리다" 인데, 이를 수학적으로 정의내려보자. 즉, 어떤 벡터들(v_1,v_2,...)이 벡터공간 V로 Span된다라는 말은 (V에 있는 어느 벡터)라도 (v_1,v_2,...)의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 말이다. ex) Column space of A -> A의 Column Vector들이 Span된 공간! 2. Basis(기저) Basis라는 말을 많이 들어보았을텐데, 선형대수학(행렬)에서 Basis의 뜻이 무엇인지 살펴보자. 즉, 벡터공간 V의 Basis는 1. Basis끼리는 모두 linearly independent 2. Basis가 V로..
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(미분방정식) 7-3. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (3)
이번 챕터에서는 특성방정식의 해가 "중근"이 나오는 경우를 살펴볼 것이다. 우리 문제가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. 그러면, 6-1에서 본 것처럼 해를 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 해가 2개가 나온 경우에는 두 개를 써줄 수 있었는데, 이 경우에는 근이 하나밖에 나오지 않으므로 위와 같이 써주는 것이 최선이다. 6-1에서 미분방정식의 해가 나올만한 함수들을 골라서 대충 때려넣었듯이, 억지로 이 미분방정식의 해가 나올만한 함수를 하나 더 찾아보자. (IDEA) 결국 exp(-t)는 해가 되어야 하므로, 다음과 같은 식이 해가 된다고 가정해보자! 그러면, 즉, 다음 식은 주어진 미분방정식의 해가 된다! => 우리가 특성방정식의 해로 구한 미분방정식의 해에 t를 곱한 것이 또 다른 해가 된다!! 일..
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(미분방정식) 7-2. 2nd-order ODE with Constant coefficients (2)
이번에는 특성방정식을 풀었을 때 2개의 허근이 나오는 경우를 살펴보자. 먼저, 미적분학을 보고 왔다면 이미 알겠지만, 오일러 공식을 다시 한번 떠올리자! 지수가 순허수인 경우가 아니라면 다음처럼 볼 수 있다. 자세히 설명할 필요도 없이 그냥 실수부와 허수부분의 지수를 따로 떼어놓았을 뿐이다. => 발산/수렴하는 (Exponential) 부분과 진동(삼각함수)부분을 분리! 두번째로 2차방정식에서 복소수 근이 나오는 경우 -> 당연히 "켤레복소수(Conjugate)" 또한 해라는 것을 알고 있을 것이다. 그런데, 흔히 저지르는 실수 중에 하나가 2차방정식의 계수가 모두 "실수"여야 한다는 조건을 놓친다는 것이다. 즉, 정리해보면 다음과 같다. (Solution of 2nd-Order Equation -> C..
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(미분방정식) 7-1. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (1)
6-1에서 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 푸는지 간단하게 보았는데, 이번 챕터에서는 조금 더 자세히 알아보도록 하자. 먼저, 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 풀었냐면 => 특성방정식(2차방정식)을 풀고 => 해를 다음과 같은 형식으로 놓고 => 초깃값을 집어넣어서 해를 구한다! 그러면 c1,c2를 구할 수 있으니 그대로 해를 써주면 그게 바로 2차미분방정식의 해였다!! 이 때, 우리는 특성방정식의 해의 종류를 기준으로 조금 더 알아보려고 한다. => 실근 2개 (7-1에서 설명) => 중근 1개 (7-3에서 설명) => 허근 2개(켤레복소수) (7-2에서 설명) 먼저, 실근이 2개인 경우 나올 수 있는 케이스는 다음과 같다. => 양수 2개 => 양수 + 음수 => 음수 2개 (해가 0인 경..
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