(선형대수학) 9-1. Orthogonal Matrix

이번에는 뒤에 나올 "Gram-Schmidtz" 방법을 소개하기 위해서 간단한 개념을 정리하고 간다.

 

먼저, Orthogonal Vector에 대해서는 이미 배웠다!!

=> 내적하면 0!

 

그러면, 이를 확장해서

1. Orthogonal Vectors

=> 서로 다른 Vector끼리 서로 내적하면 0!

2. Orthonormal Vectors

=> Orthogonal Basis + Normalize된 Vector라고 생각하면 된다.

=> 즉, 각 벡터의 Norm이 모두 1인 Orthogonal Vectors를 말한다.

특히 Orthogonal Vector들은 Basis를 이루기 때문에

=> Orthogonal Basis, Orthonormal Basis라고 생각해도 무방하다!

---

3. Orthogonal Matrix

=> Orthonormal Vectors(Basis)로 이루어진 matrix를 말한다. (Orthogonal Basis가 아니다!)

이름을 헷갈리게 지어놨지만, 어쩔 수 없이 Matrix는 Orthogonal이라고 외워두자.

 

(NOTE)

Orthogonal Matrix는 정사각행렬일 필요도 없다!!

 

---

Orthogonal Vector에 대해서는 앞에서 많이 보았으므로,

이번에는 Orthonormal Vector(Basis)와 Orthogonal Matrix에 대해서 조금 더 설명하면...

 

1. "길이, 각도(내적) 보존"

(증명)

워낙에 심플하지만, "좌표계 변환"과 엮어서 생각하면 아주 중요한 내용이 된다...

=> Orthogonal Matrix로 변환된 벡터는 길이와 각도(수직관계)가 보존된다!

=> 만일, Orthogonal Basis를 이 Orthogonal Matrix를 태워서 보내면 => Orthogonal Basis 관계가 유지된다!! (각도 유지!)

=> Standard Basis의 경우도 => Standard Basis관계가 유지된다!! (길이 유지!)

 

=> 즉, 새로운 Space에서 Standard Basis를 결정할 때 꽤 유용하게 사용할 수 있다!!

---

2. 만일 Q가 정사각행렬이면.... "역행렬이 간단!"

이 경우에도 "좌표계 변환"과 엮어서 생각해보면...

=> 아주 쉽게 "역변환"도 가능하다!!

 

이게 빛을 보는 것이 바로 "Fourier Transformation"이 된다...

(간단하게 선형대수학만 본다면 몰라도 상관은 없다! => 해석학 파트의 Fourier Transformation 참고)

 

푸리에 급수, 푸리에 변환 파트에서 보았겠지만 푸리에 변환의 의미는

=> 주어진 함수를 다음 "Basis"들로 표현하는 것으로 생각할 수 있다... => 즉, 아래의 Basis가 이루는 Space로 좌표계 변환!

 

이 Basis를 살펴보면, "Orthogonal Basis"임을 확인할 수 있다!

(복소수로 확장하면 Transpose => Hermitian(전치+켤레))

 

그리고, 약간만 변화를 주면 바로 Orthonormal Basis를 만들어 낼 수도 있다!!!

푸리에 변환은 이러한 좌표계 변환이 있을 때 => Coefficient가 어떻게 바뀌는지 알려준다!!

ex) 

---

게다가 역변환이 Transpose(Hermitian)이라는 것도 알고 있으므로 역변환도 심플하다!

 

게다가, 정사각행렬이 아니라도 Pseudo Inverse도 쉽게 구해버린다!!

 

Least Square를 통해서 잠시 살펴보자면

게다가, Q의 Column Space로 Projection되는 Matrix는 다음과 같이 작성된다.

---

다음 챕터에서는 이 내용들을 가지고, Gram-Schmidtz에 관한 내용을 설명한다.