(미분방정식) 8-1. Nonhomogeneous ODE - Method of Undetermined Coefficients(미정계수법)
이번 챕터에서는 Non-homogeneous ODE를 푸는 방식을 알아보도록 하자.
(Homogeneous Form)
(Non-Homogeneous Form)
본 블로그에서 이를 푸는 방식을 크게 2가지로 나누려고 한다.
( Method of Undetermined Coefficient ) VS (Variation of Parameters)
1. 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)
흔히, 수학에 대해 관심이 있다면...(중학교때 수업을 잘 들었다면?) "항등식"파트에서 나오는 미정계수법을 알고 있을 것이다.
정확한 정의는 아니더라도, "항등식"에서 미정계수법은 다음과 같았다.
(항등식에서의 미정계수법)
모든 x,y에서 다음 식이 성립한다고 하자. (항등식)
ax + by + c = a'x+ b'y +c'
그려면 다음이 성립한다.
a=a', b=b', c=c'
(Example)
모든 x,y에 대해서 3x + 7y + 5 = ax + by + c가 성립한다.
그러면 a=3, b=7, c=5이다.
너무나 간단한 이 방식을 이용해서 Non-homogeneous ODE를 풀어보자.
(Example 1)
1. 중첩원리
"선형"미분방정식이기 때문에 위 방정식의 해를 다음과 같이 분해할 수 있을 것이다.
저 y_p는 특수해(Specific Solution)이라고 불리고, 문제의 g(t) 를 처리하는 부분이다.
y_h를 어떻게 푸는지는 이미 알고 있으니 자세한 설명은 넘긴다.
그러면, 이제 y_p는 어떻게 구해야 하는지 생각해보자...
6-1에서 생각해본데로, y_p를 미분했을 때, exp(-4t)가 나오려면 y_p가 어떻게 생겨야 할까?
당연히, y_p = exp(-4t) * (상수) 꼴이어야 한다.
왜냐하면, exp(-4t)를 미분/적분해도 계속 exp(-4t)를 달고 다니기 때문이다!!
2. 미정계수법
그러면 다음과 같이 식을 정리할 수 있다.
즉, 특수해를 exp(-4t)에 대한 식으로 가정하고 풀면, 미정계수법을 이용해서 c=1/5라는 것을 알 수 있다.
그러므로, 일반해는 다음과 같다.
(Example 2)
이번에는 다음과 같은 식을 풀어보자.
Homogeneous Solution을 푸는 것은 이미 알고 있으니, 특수해만 구해보자.
이번에도 동일하게 어떤 식을 한번/두번 미분하면 t^2+3이 나오는지 생각해보면 당연히 y는 t에 대한 다항식으로 나와야 할 것이다.
다만, 이 때는 y가 몇차식인지 생각해야 하는데, 당연히 2차식이어야 할 것이다.
(3차 이상이면 y 때문에 최고차항 계수를 없앨 수 없다.)
식을 정리해보면 다음과 같을 것이다.
그러면 q(t)에 따라서 y_p 가정을 어떻게 잡아야 하는지 정리해보면 다음과 같을 것이다.
| q(t) | y_p |
| t^n + n_1t^(n-1) + .... + n_n (t에 대한 n차 다항식) | t에 대한 n차 다항식 |
| exp(nt) | c * (exp(nt)) |
| a1*sin(nt) + b1*cos(nt) | c1 * sin(nt) + c2 * cos(nt) 혹은 exp(int) (오일러 공식) |
| (at+b) * sin(nt) | (c1 * t + c2) * exp(i*nt) |
q(t)에 대해서 y_p를 어떻게 잡아야 할지, 문제마다 한 번씩 생각해보는것도 나쁘지 않을 것 같다.
다만, 이 미정계수법에 대해서 가장 문제가 되는 부분이 q(t)를 어느 정도는 알아야 한다는 것이다.
exp인지, 다항식인지 알아야지 y_p를 가정해서 풀텐데, 아예 q(t)로 모른다면, 문제를 풀기 어렵다.
다음 챕터에서 이를 극복하기 위한 Non-Homogenous ODE의 두번째 풀이 방식(Variation of Parameters)에 대해서 알아보자.
(보충)
정말로
를 만족하는 특수해가 t에 대한 2차 다항식 밖에 없을까????
항등식의 미정계수법이 이에 대한 해답을 내려줄 수 있다.
(증명)
p(t)를 위 식을 만족하는 2차 다항식(즉, Example 2에서 우리가 구한 2차 다항식)이라고 하고, q(t)를 위 식을 만족하는 2차 다항식이 아닌 특수해라고 가정하자. 또, q(t)와 p(t)가 같지 않다고 해야 한다.
이 때, q(t)는 y''+2y'-3y=0을 만족시키는 해를 가지고 있지 않다고 생각하자. (즉, exp(-3t), exp(t)를 가지고 있지 않다.) (특수해의 정의로 생각해도 된다.) 왜냐하면, 저걸 가져봤자 특수해를 구할 때는 아무 영향도 주지 않기 때문이다.
그러면 다음 식이 성립한다.
그런데, q(t)는 y''+2y'-3y=0을 만족시키는 해를 가지고 있지 않다고 하였으므로, r(t)를 가지면 안된다!
즉, r(t)=0이어야 하고, 그러므로 p(t)=q(t)가 되어 모순이 된다.
Q.E.D 그러므로, 저 특수해는 t에 대한 2차 다항식 밖에 없다....
증명과정을 보면 알겠지만, 굳이 저 문제에 국한하지 않아도, 특수해는 하나의 형태로 나오게 된다.
즉, 저 문제에서 어떤 이상한 식이 미분을 거쳐서 t^2+3이 나온다는 생각을 안해도 된다!