(해석학) 23-2. 3차원에서의 스토크스 정리 (Stoke's Formula, Divergence Thm)
지난 시간에는 3차원 공간에서 면적분을 다루면서 면적소 N에 대해서 알아보았다.
그러면, 이를 똑같이 1-surface(curve)에도 동일하게 적용시킬 수 있지 않을까??? -> 그러면 적분하면 곡선의 길이가 나올 것이다!
1-surface에 대해서 앞에서 했던 내용을 반복해보자...
그러면 이번에도 각 점에서 접선을 구해보자! 물론, 이미 접선의 기울기가 미분값이라는 것을 알고 있으니 접선은 다음과 같을 것이다!
즉, 여기서 면적소 역할을 하는 것은 바로 곡선의 미분값이다!
그러므로 이번에도 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다!
그러므로 선적분(Line Integral)도 동일하게 정의할 수 있다
그러면, 이제 저 ds자리(미분형식)에 다른 미분형식을 넣어보자! -> 가장 만만한 미분형식 -> 벡터장을 미분한 것!
1. 1-form의 경우!
t는 여기서 곡선의 방향(unit)벡터이다.
여기서 중요한 건 위에서 내적을 이용했다는 것인데, 내적은 같은 방향만 보존하기 때문에, 저 미분형식(벡터장 1번 미분)을 적분하게 되면, 곡선의 방향쪽으로만 벡터장이 살아남는다는 것이다!
즉, 일반적인 1-form의 선적분은 -> 곡선의 방향쪽으로만 벡터장이 살아남는다.
즉, 벡터장을 곡선의 방향성분과 수직 성분으로 나누면 수직 성분은 적분에 영향을 주지 못한다.
2. 2-form의 경우!
당연히 이번엔 2-surface에 대해서 적분해야 할 것이다!
이번에는 곡면(2-surface)에 수직인 성분만 살아남는다는 것을 알 수 있다.
즉, 벡터장을 곡면에 수직한 성분과 아닌 성분(사실, 접평면에 평행한 성분)으로 나누면 접평면에 평행한 성분은 적분에 영향을 주지 못한다.
이를 이용해서, (k=2, m=3) -> 3차원에서 스토크스 정리를 써보면
(Stoke's formula) -> 미적분학에서 본 스토크스 정리!
즉, boundary를 따라서 선적분한 결과(곡선의 방향 성분!!!!)는 곡면 전체의 curl을 면적분한 것과 동일하다!
-> Green's Theorem의 3차원 공간에서의 결과!!!
(증명)
23.1에서 본 성질들과 스토크스 정리를 이용한 것 밖에 없다!
이번엔 k=3, m=3 -> 3차원에서 스토크스 정리를 써보면
(Divergence Theorem) -> 발산정리!
즉, boundary를 따라서 면적분한 결과는(boundary에 수직인 성분!!!) Omega 전체(3차원 set)에서의 Divergence(발산)과 동일하다!
(증명)
발산정리, 스토크스 식을 물리학에서 응용한 내용들은 미적분학 카테고리에 부록으로 작성하였으니 참고바란다.
여기까지, MIMO함수의 적분 -> 정의하는 것부터, 선적분, 면적분, 스토크스 정리까지 다 보았다!!!
그럼 끝!!이라고 하면 좋겠지만, 아직 남은 질문들이 있었다....
-> 리만-스틸체스 적분의 필요성을 말할 때,
유리수이면 1, 무리수이면 0인 함수를 [0,1]에서 적분하면? -> Upper Integral과 Lower Integral이 다르게 나왔다!!!!
--> 그러면, 이를 좀 더 일반화할 수는 없을까???
-> 르벡 적분이 등장!!!
다음 시간에는 르벡적분에 대해서 알아보자!